请帮我推导一下GMRES算法,并输出latex格式
时间: 2023-05-26 14:03:57 浏览: 79
GMRES算法用于求解线性方程组Ax=b的解。
算法流程如下:
1. 初始化向量$x_0$和初始残量$r_0=b-Ax_0$。
2. 设置$m$为Krylov子空间的维数,即$m=1$。
3. 在Krylov子空间中求解$x_m$,即$Ax_m=b+\sum_{i=0}^{m-1} \beta_i v_i$,其中$v_i$为基向量。
4. 计算残量$r_m=b-Ax_m$。
5. 如果$r_m$小于某个预设的误差限,算法结束,得到解$x_m$;否则进入第6步。
6. 对$Ax_m=b+\sum_{i=0}^{m-1} \beta_i v_i$进行正交化,得到新的基向量$v_m$。
7. 在新的基向量$v_{0 \sim m}$张成的Krylov子空间中重新求解$x_m$。
8. 重复第4至第7步,直到残量$r_m$小于误差限,算法结束,得到解$x_m$。
该算法的核心是求解Krylov子空间中的解和基向量的正交化。因此,可以使用Arnoldi算法来计算Krylov子空间中的基向量。
GMRES算法的latex公式如下:
\textbf{Input:} $A$, $b$, $x_0$, $m$, $tol$.
\textbf{Output:} $x_m$.
\begin{algorithmic}[1]
\State Initialization: $r_0 = b - Ax_0$, $v_1 = r_0 / \|r_0\|_2$, $k = 1$.
\While{$\|r_k\|_2 > tol$ and $k \leq m$}
\State Arnoldi process: $AV_k = V_{k+1}H_k$, where $V_k=[v_1,v_2,\ldots,v_k]$.
\State Solve the least squares problem: $\min \|H_ky - \|r_k\|_2 e_1\|_2$.
\State Update the solution: $x_k = x_0 + V_k y$.
\State Compute the residual: $r_k = b - Ax_k$.
\State Orthogonalization: Use Gram-Schmidt to orthogonalize $v_{k+1}$ against $\{v_1,v_2,\ldots,v_k\}$, compute $v_{k+1} / \|v_{k+1}\|_2$.
\State $k$ $\gets$ $k+1$
\EndWhile
\end{algorithmic}