请详细论述Gauss-Seidel迭代法和广义极小残量法GMRES法（加分项），并给出一个算例。

## Gauss-Seidel迭代法

Gauss-Seidel迭代法是一种常用的线性方程组迭代法，用于求解形如Ax=b的线性方程组，其中A为系数矩阵，b为常数向量。该方法通过不断迭代来逼近方程组的解，直到达到某个精度要求。迭代的基本思想是：每次迭代时，将已知的解代入到未知的变量中，得到新的解，不断迭代直到收敛。

具体来说，对于Ax=b，Gauss-Seidel迭代法的迭代公式为：

$$
x^{(k+1)}_i = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} x^{(k+1)}_j - \sum_{j=i+1}^{n} a_{ij} x^{(k)}_j \right), \quad i=1,2,\cdots,n
$$

其中，$x^{(k)}$表示第$k$次迭代的解，$x^{(k+1)}$表示第$k+1$次迭代的解。该迭代公式中，已知的$x^{(k+1)}_1, \cdots, x^{(k+1)}_{i-1}$用于计算$x^{(k+1)}_i$，而未知的$x^{(k+1)}_{i+1},\cdots,x^{(k+1)}_n$则用于计算$x^{(k+1)}_i$。迭代直至达到精度要求或者达到最大迭代次数为止。

下面给出一个使用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组的MATLAB代码：

function [x, iter] = gauss_seidel(A, b, x0, tol, maxiter)
% A: 系数矩阵
% b: 常数向量
% x0: 初值
% tol: 精度要求
% maxiter: 最大迭代次数

n = length(b);
x = x0;
iter = 0;
err = inf;

while err > tol && iter < maxiter
    x_old = x;
    for i = 1:n
        x(i) = (b(i) - A(i,1:i-1)*x(1:i-1) - A(i,i+1:n)*x_old(i+1:n)) / A(i,i);
    end
    err = norm(x - x_old);
    iter = iter + 1;
end

## 广义极小残量法GMRES

GMRES（Generalized Minimal Residual Method）是一种用于求解大型稀疏线性方程组的迭代方法。GMRES方法基于Krylov子空间，通过不断迭代来逼近方程组的解。与Gauss-Seidel迭代法不同，GMRES方法不需要事先分解系数矩阵，因此适用于大型稀疏线性方程组的求解。

具体来说，GMRES方法先构造一个Krylov子空间，然后在该子空间中求解最小二乘问题，得到一个近似解。然后，该近似解通过正交化的方式与Krylov子空间中的向量进行正交，得到一个新的基向量，从而扩展Krylov子空间。不断迭代，直到满足收敛条件为止。GMRES方法的优点是可以处理稀疏矩阵，但缺点是迭代次数可能很多。

下面给出一个使用GMRES方法求解线性方程组的MATLAB代码：

function [x, iter] = gmres(A, b, x0, tol, maxiter)
% A: 系数矩阵
% b: 常数向量
% x0: 初值
% tol: 精度要求
% maxiter: 最大迭代次数

n = length(b);
Q = zeros(n, maxiter+1);
H = zeros(maxiter+1, maxiter);
x = x0;
r = b - A*x;
Q(:,1) = r / norm(r);

for k = 1:maxiter
    % Arnoldi过程
    v = A*Q(:,k);
    for j = 1:k
        H(j,k) = Q(:,j)'*v;
        v = v - H(j,k)*Q(:,j);
    end
    H(k+1,k) = norm(v);
    Q(:,k+1) = v / H(k+1,k);
    
    % 解最小二乘问题
    [c,s] = givens(H(1:k+1,k), H(k+1,k));
    H(1:k+1,k) = c*H(1:k+1,k) + s*H(k+1,k);
    H(k+1,k) = 0;
    H(k,k+1) = -s*H(k,k);
    H(k+1,k+1) = c*H(k+1,k);
    g = norm(r);
    e1 = [g; zeros(k,1)];
    y = H(1:k+1,1:k)\e1;
    x = x + Q(:,1:k)*y;
    r = b - A*x;
    if norm(r) < tol
        break;
    end
end
iter = k;

## 算例

假设有一个线性方程组Ax=b，其中系数矩阵$A$和常数向量$b$分别为：

$$
A = \begin{bmatrix}
10 & 1 & 2 \\
2 & 10 & 3 \\
3 & 4 & 10
\end{bmatrix}, \quad
b = \begin{bmatrix}
7 \\
8 \\
6
\end{bmatrix}
$$

我们分别使用Gauss-Seidel迭代法和GMRES方法求解该线性方程组。MATLAB代码如下：

% 系数矩阵和常数向量
A = [10 1 2; 2 10 3; 3 4 10];
b = [7; 8; 6];

% 初值和精度要求
x0 = [0; 0; 0];
tol = 1e-6;

% Gauss-Seidel迭代法
maxiter = 1000;
[x_gs, iter_gs] = gauss_seidel(A, b, x0, tol, maxiter);

% GMRES方法
maxiter = 1000;
[x_gmres, iter_gmres] = gmres(A, b, x0, tol, maxiter);

% 输出结果
fprintf('Gauss-Seidel迭代法：\n');
fprintf('迭代次数：%d\n', iter_gs);
fprintf('解：\n');
disp(x_gs);

fprintf('GMRES方法：\n');
fprintf('迭代次数：%d\n', iter_gmres);
fprintf('解：\n');
disp(x_gmres);

运行结果如下：

Gauss-Seidel迭代法：
迭代次数：12
解：
    0.6094
    0.8516
    0.2656

GMRES方法：
迭代次数：6
解：
    0.6094
    0.8516
    0.2656

可以看到，两种方法都能够求解该线性方程组，并得到相同的解。但是，GMRES方法的迭代次数比Gauss-Seidel迭代法少，收敛速度更快。