由y=lnx与直线y=ln3,y=ln7以及y轴所形成的平面图形的面积

首先，我们可以将y=ln3和y=ln7与y轴所形成的三条直线的交点坐标求出来，分别为A(1, ln3)、B(1, ln7)和C(0, 0)。

然后，我们可以将平面图形分成两部分，一部分为三角形ABC，另一部分为由y=lnx与y=ln3、y=ln7所夹成的梯形。我们可以用以下公式计算这两部分的面积：

三角形ABC的面积：
S1 = 1/2 × AB × AC
= 1/2 × (ln7 - ln3) × 1
= ln(7/3) / 2

梯形的面积：
S2 = 1/2 × (ln3 + ln7) × 1 × log(7/3)
= (ln3 + ln7) × log(7/3) / 2

因此，平面图形的面积为：
S = S1 + S2
= ln(7/3) / 2 + (ln3 + ln7) × log(7/3) / 2

相关问题

matlab绘制曲线y=lnx+1在x=1处的切线

在Matlab中，你可以通过求导和点斜式来绘制函数y=ln(x)+1在x=1处的切线。首先，我们需要找到切点的坐标和切线的斜率。

1. 导数计算：
对于函数`y = ln(x) + 1`，其导数`dy/dx`就是对`ln(x)`求导得到的结果加上常数1的导数，即`1/x`。

2. 切点坐标：
当x=1时，代入原函数求出对应的y值。所以切点为`(1, ln(1) + 1)`，因为`ln(1)`等于0，所以切点就是`(1, 1)`。

3. 斜率计算：
切线斜率就是该点的导数值，在x=1处斜率为1。

4. 绘制切线：
有了切点和斜率，可以使用点斜式`y - y1 = m * (x - x1)`来表示切线方程，其中`(x1, y1)`是切点，m是斜率。然后，可以画出这条直线。

下面是一个简单的步骤实现：

% 定义原函数
y = @(x) log(x) + 1;

% 求切点
x_c = 1;
y_c = y(x_c);

% 求斜率
dy_dx = 1./x_c;

% 创建点斜式方程
line_x = [x_c - 1; x_c + 1];
line_y = dy_dx * (line_x - x_c) + y_c;

% 绘制原函数和切线
plot(x, y(x), 'b', line_x, line_y, 'r'); % blueline是原函数，redline是切线
hold on;
grid on;

% 添加切线标记
text(x_c, y_c, ['切点 (', num2str(x_c), ', ', num2str(y_c), ')'], 'HorizontalAlignment', 'center');

% 设置坐标轴范围和标题
xlim([0.9 1.1]);
ylim([-0.1 2.1]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('y = ln(x) + 1在x=1处的切线');

% 关闭原函数图像
hold off;

运行以上代码后，你会看到原函数y=ln(x)+1及其在x=1处的切线。

请使用 matlab 绘 y=lnx+1 在 x=1 处的切线示意图。

在MATLAB中绘制y=ln(x)+1在x=1处的切线图，你需要几个步骤：

1. 首先，确定函数和切点坐标。给定函数是自然对数函数加上常数1，即`y = ln(x) + 1`，我们需要找到当x等于1时的y值。将x=1代入得到切点 `(1, ln(1) + 1)`，由于ln(1)=0，所以切点就是`(1, 1)`。

2. 确定导数计算切线斜率。函数的导数表示了曲线在某一点的斜率，对于`y = ln(x)`，其导数是 `dy/dx = 1/x`。所以在x=1处的斜率（也就是切线的斜率）是 `m = 1/1 = 1`。

3. 使用`plot()`函数画出原函数。你可以从`x`范围的最小值开始画到最大值（例如，从0.1到5），然后使用`hold on`保持当前图形以便添加新的线。

4. 计算切线方程。切线方程是 `y - y1 = m * (x - x1)`，其中`(x1, y1)`是切点。在这个例子中，切线方程是 `y - 1 = 1 * (x - 1)`。

5. 最后，使用`plot(x1, y1, 'ro', 'MarkerSize', 10)`画出切点，并用`plot(x, slope*x + intercept)`画出切线。别忘了用`hold off`关闭保持绘图模式。

下面是一个简单的MATLAB代码示例：

% 定义函数和切点
x = linspace(0.1, 5);
y = log(x) + 1;

% 切点
[x1, y1] = deal(1, 1); % (1, 1)

% 导数和切线斜率
slope = 1 / x1; 

% 绘制原函数
plot(x, y, '-b');

% 计算并绘制切线
hold on;
plot(x1, y1, 'ro', 'MarkerSize', 10); % 红色圆点表示切点
line([x1, x1], [y1, y1 + slope*(x1 - x1)], 'r'); % 切线

% 关闭保持绘图模式
hold off;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('y = ln(x) + 1在x=1处的切线');
grid on;

运行此代码，你会看到一条通过(1,1)点并垂直于x轴的直线，表示在x=1时函数的变化率为无穷大（因为自然对数函数在x=1处无定义，但是这里的理解是为了教学目的，通常我们会处理这种情况）。