Matlab两点边值问题的紧致差分代码

以下是一个使用紧致差分法求解二维Poisson方程的Matlab代码，其中包括了处理两点边值问题的代码。

% 求解二维Poisson方程 -u_xx - u_yy = f(x,y)
% 在矩形区域内使用紧致差分法
% 采用两点边值问题的处理方法

% 定义矩形区域和网格参数
a = 0; b = 1; c = 0; d = 1; % 矩形区域为[a,b]x[c,d]
nx = 20; ny = 20; % x和y方向上的网格数
hx = (b-a)/(nx-1); hy = (d-c)/(ny-1); % x和y方向上的网格大小

% 定义边界条件和f(x,y)
u0 = 0; u1 = 0; v0 = 0; v1 = 1; % 边界条件为u(x,0) = u0, u(x,1) = u1, v(y,0) = v0, v(y,1) = v1
f = @(x,y) -2*pi^2*sin(pi*x)*sin(pi*y); % f(x,y) = -2*pi^2*sin(pi*x)*sin(pi*y)

% 构造系数矩阵和右端向量
A = sparse(nx*ny, nx*ny);
rhs = zeros(nx*ny, 1);
for i = 2:nx-1
    for j = 2:ny-1
        k = (j-1)*nx+i;
        A(k,k) = -2/hx^2-2/hy^2;
        A(k,k-1) = 1/hx^2;
        A(k,k+1) = 1/hx^2;
        A(k,k-nx) = 1/hy^2;
        A(k,k+nx) = 1/hy^2;
        rhs(k) = f(a+(i-1)*hx, c+(j-1)*hy);
    end
end

% 处理两点边值问题
for i = 1:nx
    j = 1;
    k = (j-1)*nx+i;
    A(k,k) = 1;
    rhs(k) = v0;
    j = ny;
    k = (j-1)*nx+i;
    A(k,k) = 1;
    rhs(k) = v1;
end
for j = 1:ny
    i = 1;
    k = (j-1)*nx+i;
    A(k,k) = 1;
    rhs(k) = u0;
    i = nx;
    k = (j-1)*nx+i;
    A(k,k) = 1;
    rhs(k) = u1;
end

% 求解线性方程组并绘制结果
u = A\rhs;
U = reshape(u, [nx, ny])';
x = linspace(a, b, nx);
y = linspace(c, d, ny);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
surf(X, Y, U)

在代码中，我们首先定义了矩形区域和网格参数，然后定义了边界条件和$f(x,y)$。接着，我们使用双重循环构造了系数矩阵和右端向量，并在循环中处理了两点边值问题。最后，我们使用Matlab的内置求解器求解线性方程组，并绘制了结果。

需要注意的是，在处理两点边值问题时，我们将边界节点的系数设为1，并将右端向量相应地调整为边界值。这样做可以保证解在边界处满足边界条件。