二维非线性薛定谔方程紧致差分格式Matlab代码

二维非线性薛定谔方程可以写成如下形式：

i ∂ψ/∂t = -1/2(∂²ψ/∂x² + ∂²ψ/∂y²) + V(x,y)ψ + g|ψ|²ψ

其中，ψ是波函数，V(x,y)是势能函数，g是非线性系数。

紧致差分格式可以用来离散化二维空间和时间，具体的差分格式如下：

i(ψ_ij^(n+1) - ψ_ij^n)/Δt = -1/2(ψ_i-1,j^(n+1) - 2ψ_ij^(n+1) + ψ_i+1,j^(n+1))/Δx^2 - 1/2(ψ_i,j-1^(n+1) - 2ψ_ij^(n+1) + ψ_i,j+1^(n+1))/Δy^2 + V_ijψ_ij^(n+1) + g|ψ_ij^(n+1)|²ψ_ij^(n+1)

其中，Δt、Δx、Δy是时间和空间的离散化步长，n是时间步数，i和j是空间中的离散点，ψ_ij^(n+1)表示在(i,j)点上的波函数值，V_ij表示在(i,j)点上的势能函数值。

根据以上公式，可以编写如下的Matlab代码：

%% 二维非线性薛定谔方程紧致差分格式Matlab代码
clear;clc;

%% 参数设置
Lx = 10;
Ly = 10;
Nx = 101;
Ny = 101;
Nt = 500;
dx = Lx/(Nx-1);
dy = Ly/(Ny-1);
dt = 0.01;
x = linspace(-Lx/2,Lx/2,Nx);
y = linspace(-Ly/2,Ly/2,Ny);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
V = zeros(Nx,Ny);
g = 1;

%% 初始条件
kx = 1;
ky = 2;
psi = exp(1i*(kx*X+ky*Y));

%% 紧致差分格式
psi_new = psi;
for n = 1:Nt
    for j = 2:Ny-1
        for i = 2:Nx-1
            psi_xx = (psi(i-1,j)+psi(i+1,j)-2*psi(i,j))/dx^2;
            psi_yy = (psi(i,j-1)+psi(i,j+1)-2*psi(i,j))/dy^2;
            psi_new(i,j) = psi(i,j) - 1i*dt*(-0.5*psi_xx-0.5*psi_yy+V(i,j)*psi(i,j)+g*abs(psi(i,j))^2*psi(i,j));
        end
    end
    psi = psi_new;
end

%% 绘图
figure(1)
surf(X,Y,abs(psi_new).^2)
title('波函数的模方')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('|\psi|^2')

运行以上代码，即可得到波函数的模方图像。注意，由于此处只考虑了自由边界条件，边界处波函数的值需要特殊处理。