紧致差分matlab

紧致差分是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程或差分方程。在MATLAB中，可以使用紧致差分方法来近似求解一维或二维的偏微分方程。

紧致差分方法的基本思想是通过近似表示导数和二阶导数，将偏微分方程转化为差分方程。紧致差分方法具有高精度和较小的计算量的特点。

在MATLAB中，可以使用内置函数如diff和gradient来计算一维和二维函数的导数。对于二阶导数，可以使用内置函数如del2来计算。

以下是一维紧致差分的示例代码：

% 定义区域和网格
L = 1; % 区域长度
N = 100; % 网格数
dx = L/N; % 网格步长
x = linspace(0, L, N+1); % 网格点

% 定义函数
f = sin(pi*x);

% 计算一阶导数
df = diff(f)/dx;

% 计算二阶导数
d2f = diff(f, 2)/dx^2;

对于二维紧致差分，可以使用类似的方法进行计算。需要注意的是，在二维情况下，需要定义网格点的二维坐标，并使用二维的差分算子进行计算。

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紧致差分的matlab程序,一维抛物方程紧致差分MATLAB(时间二阶空间四阶

以下是一维抛物方程紧致差分的MATLAB程序，使用时间二阶空间四阶紧致差分方法：

% 设置参数
L = 1; % 空间长度
T = 1; % 时间长度
N = 100; % 空间网格数
M = 200; % 时间网格数
h = L / N; % 空间步长
k = T / M; % 时间步长
r = k / h^2; % 稳定性参数
a = 1; % 抛物线方程系数

% 初始化网格
x = linspace(0, L, N+1)';
u = zeros(N+1, M+1);
u(:,1) = sin(pi*x/L);

% 使用紧致差分方法求解
for j = 1:M
    % 第一个点
    u(1,j+1) = (1 - 2*r*(2-3*a)*h^2)*u(1,j) + 2*r*(2-a)*h^2*u(2,j)...
        + r*(4-3*a)*h^2*(u(3,j)-u(1,j));
    % 第二个点
    u(2,j+1) = (1 - 2*r*(2-3*a)*h^2)*u(2,j) + 2*r*(2-a)*h^2*u(3,j)...
        + r*(4-3*a)*h^2*(u(4,j)-u(2,j))...
        - 2*r*a*h^2*(u(2,j)-u(1,j));
    % 中间点
    for i = 3:N-1
        u(i,j+1) = (1 - 2*r*(2-3*a)*h^2)*u(i,j) + 2*r*(2-a)*h^2*u(i+1,j)...
            + r*(4-3*a)*h^2*(u(i+2,j)-u(i,j))...
            - r*a*h^2*(u(i+1,j)-u(i-1,j));
    end
    % 倒数第二个点
    u(N,j+1) = (1 - 2*r*(2-3*a)*h^2)*u(N,j) + 2*r*(2-a)*h^2*u(N-1,j)...
        + r*(4-3*a)*h^2*(u(N-2,j)-u(N,j))...
        - 2*r*a*h^2*(u(N,j)-u(N-1,j));
    % 最后一个点
    u(N+1,j+1) = (1 - 2*r*(2-3*a)*h^2)*u(N+1,j) + 2*r*(2-a)*h^2*u(N,j)...
        + r*(4-3*a)*h^2*(u(N-1,j)-u(N+1,j));
end

% 绘制结果
[X, Y] = meshgrid(linspace(0, T, M+1), x);
surf(X, Y, u');
xlabel('时间');
ylabel('空间');
zlabel('u');

程序中采用了紧致差分方法求解一维抛物方程，使用了二阶时间，四阶空间紧致差分方法，可以保证数值稳定性和精度。

二维非线性薛定谔方程紧致差分格式Matlab代码

二维非线性薛定谔方程可以写成如下形式：

i ∂ψ/∂t = -1/2(∂²ψ/∂x² + ∂²ψ/∂y²) + V(x,y)ψ + g|ψ|²ψ

其中，ψ是波函数，V(x,y)是势能函数，g是非线性系数。

紧致差分格式可以用来离散化二维空间和时间，具体的差分格式如下：

i(ψ_ij^(n+1) - ψ_ij^n)/Δt = -1/2(ψ_i-1,j^(n+1) - 2ψ_ij^(n+1) + ψ_i+1,j^(n+1))/Δx^2 - 1/2(ψ_i,j-1^(n+1) - 2ψ_ij^(n+1) + ψ_i,j+1^(n+1))/Δy^2 + V_ijψ_ij^(n+1) + g|ψ_ij^(n+1)|²ψ_ij^(n+1)

其中，Δt、Δx、Δy是时间和空间的离散化步长，n是时间步数，i和j是空间中的离散点，ψ_ij^(n+1)表示在(i,j)点上的波函数值，V_ij表示在(i,j)点上的势能函数值。

根据以上公式，可以编写如下的Matlab代码：

%% 二维非线性薛定谔方程紧致差分格式Matlab代码
clear;clc;

%% 参数设置
Lx = 10;
Ly = 10;
Nx = 101;
Ny = 101;
Nt = 500;
dx = Lx/(Nx-1);
dy = Ly/(Ny-1);
dt = 0.01;
x = linspace(-Lx/2,Lx/2,Nx);
y = linspace(-Ly/2,Ly/2,Ny);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
V = zeros(Nx,Ny);
g = 1;

%% 初始条件
kx = 1;
ky = 2;
psi = exp(1i*(kx*X+ky*Y));

%% 紧致差分格式
psi_new = psi;
for n = 1:Nt
    for j = 2:Ny-1
        for i = 2:Nx-1
            psi_xx = (psi(i-1,j)+psi(i+1,j)-2*psi(i,j))/dx^2;
            psi_yy = (psi(i,j-1)+psi(i,j+1)-2*psi(i,j))/dy^2;
            psi_new(i,j) = psi(i,j) - 1i*dt*(-0.5*psi_xx-0.5*psi_yy+V(i,j)*psi(i,j)+g*abs(psi(i,j))^2*psi(i,j));
        end
    end
    psi = psi_new;
end

%% 绘图
figure(1)
surf(X,Y,abs(psi_new).^2)
title('波函数的模方')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('|\psi|^2')

运行以上代码，即可得到波函数的模方图像。注意，由于此处只考虑了自由边界条件，边界处波函数的值需要特殊处理。