相机内参标定 xy z

### 相机内参标定方法及其在XYZ坐标系中的应用

#### 1. 相机内参的概念与重要性

相机内参描述了图像传感器相对于镜头的位置以及光学特性，这些参数对于将二维图像映射回三维世界至关重要。内参主要包括焦距\(f_x\)、\(f_y\)（即沿X轴和Y轴方向上的投影因子），主点位置\((c_x,c_y)\)，以及可能存在的径向畸变系数等[^1]。

#### 2. 针孔模型下的内参获取方式

为了获得精确的内部参数，在实践中通常采用张正定提出的基于多视图几何理论的方法来进行非线性优化求解。此过程涉及拍摄一系列已知模式（如棋盘格）的不同视角照片作为输入数据集，并利用OpenCV库或其他计算机视觉框架实现自动化处理。具体来说：

- **准备校准板**：选用具有固定间距特征点阵列的标准图案；

- **采集样本图像**：确保覆盖整个视野范围并保持足够的重叠度；

- **检测角点位置**：自动识别每幅图片内的交差点座标；

- **构建目标函数**：定义误差衡量标准用于评估预测值同实际测量之间的差异程度；

- **执行最小二乘法拟合**：调整待估变量直至达到全局最优解为止[^2]。

// C++代码片段展示如何调用OpenCV进行相机标定
#include <opencv2/opencv.hpp>
using namespace cv;

std::vector<Point3f> objectPoints; // 物体空间中的3D点
std::vector<std::vector<Point2f>> imagePoints; // 图像平面上对应的2D点
Size boardSize(7,6); // 假设使用7x6个方块组成的棋盘格
Mat cameraMatrix,distCoeffs;
calibrateCamera(objectPoints,imagePoints,boardSize,cameraMatrix,distCoeffs);

#### 3. 将内参应用于XYZ坐标转换

一旦得到了准确无误的内参矩阵\[K=\left[\begin{array}{ccc} f_{x}&0&c_{x}\\ 0&f_{y}&c_{y}\\ 0&0&1 \end{array}\right]\]，就可以轻松地把任意给定点从像素坐标系变换至摄像机坐标系下表示。假设存在一对匹配关系\(\mathbf{p}_{uv}=(u,v)^T\)对应于真实场景里的某处物体表面P(x,y,z)，那么两者之间满足如下公式:

\[
\lambda\cdot\left[\begin{matrix}
u\\v\\1
\end{matrix}\right]=K\cdot[R|t]\cdot\left[\begin{matrix}
X_W\\Y_W\\Z_W\\1
\end{matrix}\right]
\]

其中R代表旋转矩阵而t则是平移向量，共同构成了外方位元素用来表征摄像头姿态变化情况。当只考虑单目情形时不难发现上述表达式本质上就是一组齐次线性方程组，因此可以通过简单的代数运算来反推出未知的目标位姿信息。