MATLAB数值分析超松弛迭代法

MATLAB是一种强大的数学软件，常用于数值计算和数据分析。超松弛迭代法（Over-relaxation method）是一种用于求解线性方程组的迭代算法，特别适用于大型稀疏矩阵的问题。它通过引入适当的松弛因子来加速经典迭代如共轭梯度法或雅克比迭代。这个方法利用了数值稳定性并能更快地收敛于解。

超松弛迭代的基本思想是在每一步迭代中，对原方程稍微做一些“过度”的调整，使得更新的速度比标准迭代快，但可能会稍微偏离真正的解。这通常会提高收敛速度，尤其是在系数矩阵具有某种局部对角占优性质的情况下。

在MATLAB中，可以使用内置函数`iterativeSolvers`包中的`overRelaxation`函数来应用超松弛迭代，或者自定义循环来实现该方法。例如，对于一个线性系统Ax = b，你可以这样做：

A = ...; % 稀疏矩阵
b = ...; % 方程右侧向量
x0 = zeros(size(A, 2)); % 初始猜测
rho = 1.5; % 超松弛因子，默认值

for i = 1:iterations
    x_new = A \ (rho * b + (1-rho) * x(i));
    % 检查收敛条件，如 norm(x_new - x(i)) < tolerance
    x(i+1) = x_new;
end