求1-1/2+2/3-3/5+……前n项和
时间: 2023-10-03 15:04:27 浏览: 58
这是一个著名的调和级数的交替和,可以用莱布尼茨公式求解。前n项和为:
$$S_n = \sum_{i=1}^n \frac{(-1)^{i+1}i}{i+1} = \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{2}{4}-\frac{3}{5}+\cdots +\frac{(-1)^{n+1}n}{n+1}$$
化简可得:
$$S_n = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \frac{(-1)^{i+1}}{i+1} + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \frac{(-1)^{i+1}i}{i+1}$$
第一项为莱布尼茨级数的部分和,第二项可以用对数函数表示:
$$S_n = \frac{1}{2} \ln 2 + \frac{1}{2}(\ln(n+1) - H_{n+1})$$
其中$H_{n+1}$为$n+1$阶调和数,即:
$$H_{n+1} = \sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i}$$
因此,前$n$项和为:
$$S_n = \frac{1}{2} \ln 2 + \frac{1}{2}(\ln(n+1) - H_{n+1})$$
相关问题
1/2-2/3+3/4-……+n/(n+1)
这个式子是一个等差数列求和的公式,公式为:S = n/2 * [a1 + an],其中n是项数,a1是首项,an是末项。首项为1/2,公差为1/12,所以第n项为1/2 + (n-1) * 1/12 = (6n - 5) / 12,代入公式得到:S = n/2 * [1/2 + (6n-5)/(n+1)]。
求1-1/2+1/3+1/4+……前n项和
这是一个调和级数,可以表示为:
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + (-1)^(n-1) * 1/n
这个级数的部分和可以用以下公式计算:
S_n = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + (-1)^(n-1) * 1/n
如果你不知道这个公式是怎么来的,可以参考一下调和级数的性质。
现在我们来计算一下前n项和:
S_n = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + (-1)^(n-1) * 1/n
S_n = 1 + (1/2 - 1/2) + (1/3 - 1/4) + (1/5 - 1/6) + ... + [(1/(2k-1)) - (1/2k)]
S_n = 1 + 1/2 - 1/3 + 1/4 + ... + [1/(2k-1) - 1/(2k)]
S_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/(2k-1) - 1/2 - 1/4 - ... - 1/2k
这个式子里面有两个调和级数,一个是前k项的奇数调和级数,另一个是前k项的偶数调和级数。它们的部分和可以分别表示为:
H_k = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/k
G_k = 1/2 + 1/4 + ... + 1/2k
所以原式可以写成:
S_n = H_n - G_k
现在我们来计算一下H_n和G_k:
H_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n
G_k = 1/2 + 1/4 + ... + 1/2k
H_n和G_k都是调和级数,它们的部分和可以用对数函数来表示。具体来说,我们有:
ln(n+1) < H_n < 1 + ln(n)
ln(2k+1) < H_k < 1 + ln(2k)
ln(2k+1) - ln(2) < G_k < ln(2k+1)
所以我们可以用对数函数来计算H_n和G_k的近似值。具体来说,我们有:
H_n ≈ ln(n) + γ
G_k ≈ ln(2k) + γ - ln(2)
其中γ是欧拉常数,约等于0.5772156649。
现在我们可以用这些公式来计算S_n了。具体步骤如下:
1. 计算H_n和G_k的近似值,即:
H_n ≈ ln(n) + γ
G_k ≈ ln(2k) + γ - ln(2)
2. 计算S_n,即:
S_n = H_n - G_k
3. 把结果四舍五入到合适的精度。
下面是Python代码实现:
import math
def harmonic_series(n):
"""计算前n项调和级数的部分和"""
s = 0
for i in range(1, n+1):
s += 1 / i
return s
def alternating_harmonic_series(n):
"""计算前n项交错调和级数的部分和"""
s = 0
for i in range(1, n+1):
s += (-1) ** (i-1) / i
return s
def harmonic_series_approx(n):
"""计算前n项调和级数的近似值"""
return math.log(n) + 0.5772156649
def alternating_harmonic_series_approx(n):
"""计算前n项交错调和级数的近似值"""
return math.log(2*n) + 0.5772156649 - math.log(2)
def sum_of_alternating_harmonic_series(n):
"""计算前n项交错调和级数的部分和"""
hn = harmonic_series_approx(n)
gk = alternating_harmonic_series_approx(n)
return hn - gk
n = int(input("请输入n的值:"))
s = sum_of_alternating_harmonic_series(n)
print("前{}项交错调和级数的部分和为:{:.6f}".format(n, s))
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