定义阶乘 � ! = 1 × 2 × 3 × ⋅ ⋅ ⋅ × � n!=1×2×3×⋅⋅⋅×n。 请问 100 ! 100! （ 100 100 的阶乘）有多少个正约数。

首先，可以将 $100!$ 分解质因数。由于 $100!$ 中包含了大量的质因子，因此需要先确定其中每个质因子的指数。

首先考虑质数 $2$。$100!$ 中有 $50$ 个数是偶数，其中有 $25$ 个是 $4$ 的倍数，$12$ 个是 $8$ 的倍数，$6$ 个是 $16$ 的倍数，$3$ 个是 $32$ 的倍数，$1$ 个是 $64$ 的倍数。因此，$2$ 在 $100!$ 的质因数分解中的指数为：

$$
\left\lfloor\frac{100}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{100}{4}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{100}{8}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{100}{16}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{100}{32}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{100}{64}\right\rfloor = 97
$$

同理，考虑质数 $3$。$100!$ 中有 $33$ 个数是 $3$ 的倍数，其中有 $11$ 个是 $9$ 的倍数，$3$ 个是 $27$ 的倍数。因此，$3$ 在 $100!$ 的质因数分解中的指数为：

$$
\left\lfloor\frac{100}{3}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{100}{9}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{100}{27}\right\rfloor = 48
$$

同理，考虑其他质数，最终可以得到 $100!$ 的质因数分解式：

$$
100! = 2^{97} \times 3^{48} \times 5^{24} \times 7^{16} \times 11^{9} \times 13^{7} \times 17^{5} \times 19^{5} \times 23^{4} \times 29^{3} \times 31^{3} \times 37^{2} \times 41^{2} \times 43^{2} \times 47^{2} \times 53 \times 59 \times 61 \times 67 \times 71 \times 73 \times 79 \times 83 \times 89 \times 97
$$

一个正约数可以表示为 $2^a \times 3^b \times 5^c \times 7^d \times 11^e \times \cdots$ 的形式，其中指数 $a,b,c,d,e,\cdots$ 均为非负整数且小于等于对应质因子在 $100!$ 中的指数。因此，一个正约数的个数可以表示为：

$$(97+1) \times (48+1) \times (24+1) \times (16+1) \times (9+1) \times (7+1) \times (5+1) \times (5+1) \times (4+1) \times (3+1) \times (3+1) \times (2+1) \times (2+1) \times (2+1) \times (2+1) \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64809076808000$$

因此，$100!$ 有 $64809076808000$ 个正约数。