softmaxregression函数
时间: 2023-05-20 14:02:05 浏览: 84
Softmax回归函数是一种常见的分类算法,它可以将输入向量映射到多个类别中的一个。它使用softmax函数将输入向量转换为概率分布,然后根据最大概率来预测类别。在机器学习中,softmax回归函数通常用于多类别分类问题。
相关问题
python实现softmax regression
Python实现softmax regression(也称为多类别逻辑回归)可以使用NumPy库来进行数值计算。下面是一个简单的示例代码:
```python
import numpy as np
def softmax_regression(X, y, num_classes, learning_rate, num_iterations):
num_features = X.shape[1]
theta = np.zeros((num_features, num_classes))
for i in range(num_iterations):
scores = np.dot(X, theta)
exp_scores = np.exp(scores)
probs = exp_scores / np.sum(exp_scores, axis=1, keepdims=True)
# 计算损失函数
loss = -np.log(probs[range(len(X)), y])
data_loss = np.sum(loss) / len(X)
# 计算梯度
d_probs = probs
d_probs[range(len(X)), y] -= 1
d_probs /= len(X)
d_theta = np.dot(X.T, d_probs)
# 更新参数
theta -= learning_rate * d_theta
return theta
# 示例数据
X = np.array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9],
[10, 11, 12]])
y = np.array([0, 1, 2, 1])
# 调用softmax_regression函数进行训练
num_classes = len(np.unique(y))
learning_rate = 0.01
num_iterations = 1000
theta = softmax_regression(X, y, num_classes, learning_rate, num_iterations)
print("训练得到的参数theta:")
print(theta)
```
这段代码实现了softmax regression的训练过程。首先,定义了一个softmax_regression函数,该函数接受输入特征矩阵X、标签向量y、类别数量num_classes、学习率learning_rate和迭代次数num_iterations作为参数。在函数内部,首先初始化参数theta为全零矩阵。然后,通过迭代更新参数theta,直到达到指定的迭代次数。在每次迭代中,计算得分矩阵scores、概率矩阵probs和损失函数loss。然后,计算梯度d_theta,并使用学习率更新参数theta。最后,返回训练得到的参数theta。
在示例数据部分,定义了一个简单的输入特征矩阵X和标签向量y。调用softmax_regression函数进行训练,并打印训练得到的参数theta。
softmax regression求导
要求解softmax回归的导数,我们首先需要明确softmax函数的定义和softmax回归的目标函数。
1. softmax函数定义:
对于一个具有K个类别的输入向量z,softmax函数将其转化为一个概率分布向量p,其中每个元素表示属于对应类别的概率。softmax函数的表达式如下:
p_i = exp(z_i) / (sum(exp(z_j))), 其中 i = 1,2,...,K
2. softmax回归的目标函数:
softmax回归是一种多类别分类模型,它通过最大化训练数据集中观测样本的似然函数来进行训练。假设训练数据集包含N个样本,每个样本的输入为x,输出为对应的类别y。softmax回归的目标函数可以定义为:
J(w,b) = -1/N * sum(log(p(y|x;w,b))), 其中 p(y|x;w,b) 是给定输入x时预测为类别y的概率,w和b分别是模型的权重和偏置。
现在我们来求解目标函数对权重 w 的导数:
需要使用链式法则来求解导数。首先,我们令 z = w * x + b,并对 z 求导数。
∂z_i / ∂w_j = ∂(w_j * x + b_i) / ∂w_j = x_j
然后,我们计算 p_i 对 z_j 的导数。
∂p_i / ∂z_j = (∂(exp(z_i) / (sum(exp(z_k)))) / ∂z_j
对于 i = j,导数为:
∂p_i / ∂z_j = (exp(z_i) * sum(exp(z_k)) - exp(z_i) * exp(z_j)) / (sum(exp(z_k)))^2
= exp(z_i) * (sum(exp(z_k)) - exp(z_j)) / (sum(exp(z_k)))^2
= p_i * (1 - p_j)
对于 i ≠ j,导数为:
∂p_i / ∂z_j = (-exp(z_i) * exp(z_j)) / (sum(exp(z_k)))^2
= -p_i * p_j
接下来,我们计算目标函数对 z_i 的导数。
∂J / ∂z_i = (∂(-1/N * sum(log(p(y|x;w,b)))) / ∂z_i
= -1/N * sum(∂(log(p(y|x;w,b)))) / ∂z_i
如果 y = i,则上式可以写为:
∂J / ∂z_i = -1/N * (1/p_i) * ∂p_i / ∂z_i
= -1/N * (1/p_i) * p_i * (1 - p_i)
= 1/N * (p_i - 1)
如果 y ≠ i,则上式可以写为:
∂J / ∂z_i = -1/N * (1/p_y) * ∂p_y / ∂z_i
= 1/N * (-p_i * p_y)
最后,我们可以得到目标函数对权重 w_j 的导数:
∂J / ∂w_j = ∂J / ∂z_i * ∂z_i / ∂w_j
= x_j * (1/N * (p_i - 1)), if y = i
= x_j * (1/N * (-p_i)), if y ≠ i
综上所述,softmax回归的目标函数对权重 w 的导数为 ∂J / ∂w_j = x_j * (1/N * (p_i - 1)),其中 p_i 表示模型预测为类别 i 的概率。
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