r语言用重要抽样蒙特卡罗积分估计e^-x/(1+x^2)在[0,1]上的积分并计算方差的代码

# 定义被积函数
f <- function(x) exp(-x)/(1+x^2)

# 定义重要抽样函数和概率密度函数
g <- function(x) 2*exp(-x)
p <- function(x) 0.5*exp(-0.5*x)

# 定义蒙特卡罗积分函数
monte_carlo <- function(N) {
x <- rgamma(N, shape = 1, rate = 2)
y <- f(x)/g(x)
mean(y)*integrate(p, 0, Inf)$value
}

# 进行10000次模拟，计算均值和方差
set.seed(123)
N <- 10000
estimates <- replicate(N, monte_carlo(100))
mean_est <- mean(estimates)
var_est <- var(estimates)

# 输出结果
cat("估计的积分值为：", mean_est, "\n")
cat("估计的方差为：", var_est, "\n")

相关问题

蒙特卡洛模拟模拟的matlab语言代码

### 回答1：
以下是一个简单的蒙特卡罗模拟的Matlab代码示例：

num_samples = 10000;
in_circle = 0;
for i = 1:num_samples
    x = rand;
    y = rand;
    if x^2 + y^2 <= 1
        in_circle = in_circle + 1;
    end
end
pi_estimate = 4 * in_circle / num_samples;
disp(pi_estimate);

在这个例子中，我们生成了10000个随机数对(x, y)，判断它们是否在单位圆内，然后计算在圆内的点的数量除以总数量来估计π的值。

### 回答2：
蒙特卡洛模拟是一种基于概率统计方法的数值计算方法，用于估计未知参数、求解积分、模拟随机过程等问题。下面以matlab语言为例，举一个简单的蒙特卡洛模拟的代码实现。

假设我们要求解一个定积分
I = ∫[a, b] f(x)dx = (b - a) * E[f(x)]

其中f(x)是待求函数，我们可以使用蒙特卡洛模拟来估计I的值。

步骤如下：

1. 随机生成N个在[a, b]区间上的随机数作为x的取值，存储在一个数组x中。

代码示例：
N = 10000; % 随机点个数
a = 0; % 区间下限
b = 1; % 区间上限

x = a + (b - a) * rand(N, 1); % 生成N个在[a, b]之间的随机数

2. 计算f(x)在每个随机点的函数值，存储在一个数组f中。

代码示例：
f = sin(x); % 计算sin(x)在每个随机点的函数值

3. 计算积分估计值I的均值，即数组f的平均值。

代码示例：
I = (b - a) * mean(f); % 计算积分估计值

4. 输出积分估计值I。

代码示例：
disp(I); % 输出积分估计值

以上是一个简单的蒙特卡洛模拟的matlab代码示例，当然实际应用中可能还需要更多的步骤和参数设置，这个例子只是为了演示蒙特卡洛模拟的基本思路和实现方式。

### 回答3：
蒙特卡洛模拟是一种基于随机抽样的数值模拟方法，在金融领域中常用于风险评估、期权定价等问题。下面是使用Matlab语言编写的一个蒙特卡洛模拟的示例代码。

clear;
clc;

% 设定模拟相关参数
N = 100000; % 抽样次数
S0 = 100; % 初始资产价格
mu = 0.05; % 平均收益率
sigma = 0.2; % 收益率标准差
T = 1; % 投资周期

% 生成随机数序列
rng(1); % 设置随机数种子以保证可重复性
epsilon = randn(N, 1); % 生成N个满足标准正态分布的随机数

% 计算模拟的资产价格序列
S = S0 * exp((mu - 0.5 * sigma^2) * T + sigma * sqrt(T) * epsilon);

% 绘制资产价格随时间变化的图像
figure;
plot(S);
xlabel('时间');
ylabel('资产价格');

% 计算期权价格
K = 100; % 期权行权价格
r = 0.02; % 无风险利率
payoff = max(S - K, 0); % 期权的支付
discounted_payoff = payoff * exp(-r * T); % 考虑时间价值的期权支付
option_price = mean(discounted_payoff); % 期权价格的均值作为估计值

disp(['蒙特卡洛模拟得到的期权价格为：', num2str(option_price)]);

以上代码首先设定了模拟相关的参数，包括抽样次数N、初始资产价格S0、平均收益率mu、收益率标准差sigma和投资周期T。然后利用randn函数生成N个满足标准正态分布的随机数作为模拟中的随机因素。接着根据几何布朗运动的模型计算资产价格随时间的变化，并绘制了资产价格随时间变化的图像。最后，根据期权的行权价格K、无风险利率r以及模拟的资产价格序列，计算期权价格的估计值。最终，通过disp函数输出期权价格的估计值。

r语言用重要抽样法进行蒙特卡罗积分估计(x^2/(2*pi)^0.5)*e^(-x^2/2)在积分下限为1的代码

set.seed(123) # 设置随机数种子以保证结果可重复

# 定义被积函数
f <- function(x) {
x^2 / (2*pi)^0.5 * exp(-x^2 / 2)
}

# 定义重要抽样函数
g <- function(x) {
dnorm(x)
}

# 定义积分下限和样本容量
a <- 1
n <- 1000000

# 生成服从正态分布的样本
x <- rnorm(n)

# 计算重要性权重
w <- f(x) / g(x)

# 计算估计值
est <- mean(w * f(x) / g(x))

# 计算估计误差
se <- sqrt(var(w * f(x) / g(x)) / n)

# 输出结果
cat("重要抽样法估计的积分值为：", est, "\n")
cat("估计误差为：", se, "\n")