利用Dijkstra算法解决最短路径问题

Dijkstra算法是一种用于解决最短路径问题的经典算法。它可以找到从一个起点到其他所有节点的最短路径。

Dijkstra算法的基本思想是通过不断更新起点到各个节点的最短距离来逐步扩展最短路径。具体步骤如下：

1. 创建一个距离数组dist[]，用于存储起点到各个节点的最短距离。初始时，将起点到自身的距离设为0，其他节点的距离设为无穷大。
2. 创建一个集合visited[]，用于记录已经找到最短路径的节点。
3. 从起点开始，选择一个未访问过的节点v，将其标记为visited[v] = true。
4. 遍历节点v的所有邻居节点u，如果通过节点v可以获得更短的距离dist[u]，则更新dist[u]为新的最短距离。
5. 重复步骤3和步骤4，直到所有节点都被访问过或者没有可以更新的最短路径。

最终，dist[]数组中存储的就是起点到各个节点的最短距离。

相关问题

Dijkstra算法解决最短路径问题用c++实现

Dijkstra算法是一种用于解决最短路径问题的经典算法，它可以找到一个节点到其他所有节点的最短路径。下面是用C++实现Dijkstra算法的示例代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <climits>

using namespace std;

// 定义图的邻接矩阵表示
const int MAX = 100;
vector<vector<int>> graph(MAX, vector<int>(MAX, 0));

// Dijkstra算法实现
void dijkstra(int start, int n) {
    vector<int> dist(n, INT_MAX);  // 存储起始节点到各个节点的最短距离
    vector<bool> visited(n, false);  // 记录节点是否已被访问

    dist[start] = 0;  // 起始节点到自身的距离为0

    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        int minDist = INT_MAX;
        int minIndex = -1;

        // 找到当前未访问节点中距离起始节点最近的节点
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (!visited[j] && dist[j] < minDist) {
                minDist = dist[j];
                minIndex = j;
            }
        }

        if (minIndex == -1) {
            break;
        }

        visited[minIndex] = true;

        // 更新最短距离
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (!visited[j] && graph[minIndex][j] != 0 && dist[minIndex] != INT_MAX &&
                dist[minIndex] + graph[minIndex][j] < dist[j]) {
                dist[j] = dist[minIndex] + graph[minIndex][j];
            }
        }
    }

    // 输出最短距离
    cout << "最短距离：" << endl;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cout << start << " 到 " << i << " 的最短距离为：" << dist[i] << endl;
    }
}

int main() {
    int n;  // 节点数
    int m;  // 边数

    cout << "请输入节点数和边数：" << endl;
    cin >> n >> m;

    cout << "请输入边的信息（起始节点、目标节点、权重）：" << endl;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        graph[u][v] = w;
        graph[v][u] = w;  // 若是无向图，需要将两个方向都设置权重
    }

    int start;  // 起始节点
    cout << "请输入起始节点：" << endl;
    cin >> start;

    dijkstra(start, n);

    return 0;
}

Dijkstra算法求最短路径

Dijkstra算法是一种用于解决单源最短路径问题的贪心算法。它的基本思想是从起点开始，逐步扩展到其他节点，每次选择当前距离起点最近的一个节点进行扩展，直到扩展到终点或者所有节点都被扩展完毕。在扩展的过程中，维护一个距离数组，记录起点到每个节点的最短距离，同时维护一个集合，记录已经确定最短路径的节点。每次扩展一个节点时，更新与该节点相邻的节点的距离，并将其加入集合中。重复这个过程，直到终点被加入集合或者集合为空。

Dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为节点数。如果使用堆优化的Dijkstra算法，时间复杂度可以降为O(mlogn)，其中m为边数。在实际应用中，稠密图一般使用朴素版Dijkstra算法，稀疏图则使用堆优化版Dijkstra算法。