给定一个nm的矩阵，定义矩阵第i行第j列的值为gcd(i,j) (gcd为最大公因数) 定义子矩阵的和是其中所有元素之和 ，现在需要求所有kk的子矩阵的和的总和 1<=n,m<=5e3 1<=k<=min(n,m) c

这是一个数学问题，可以使用前缀和优化。首先，我们可以发现对于矩阵中的任意一个元素，其出现在多少个子矩阵中是可以计算出来的。具体来说，对于矩阵中的第i行第j列的元素gcd(i,j)，它出现在以该元素为左上角的子矩阵中的数量为(i-k+1) * (j-k+1)。

接下来，我们可以使用前缀和来计算以每个元素为左上角的子矩阵的和。具体来说，我们可以使用一个前缀和数组prefix_sum，其中prefix_sum[i][j]表示以第1行第1列为左上角，第i行第j列为右下角的子矩阵的和。对于每个左上角为(i,j)的子矩阵，其和可以通过prefix_sum[i+k-1][j+k-1]-prefix_sum[i+k-1][j-1]-prefix_sum[i-1][j+k-1]+prefix_sum[i-1][j-1]来计算得到。

最终，我们可以遍历矩阵中的每个元素，计算其出现在多少个子矩阵中，并将其对应的子矩阵的和加入到总和中即可得到最终答案。时间复杂度为O(nmlog(min(n,m)))。

相关问题

给定个n * m的矩阵，定义矩阵第i行、第j列的值为gcd(i,j)，定义一个子矩阵的和是其中所有元素之和，怎么求所有 k*k的子矩阵的和的总和。

对于给定的n * m的矩阵，我们可以先预处理出每个位置的gcd值，然后对于每个k * k的子矩阵，可以通过枚举左上角的位置来计算其和。具体地，设当前枚举到的左上角位置为(i,j)，则该子矩阵的和为：

sum(i,j,k) = gcd(i,j) + gcd(i+1,j) + ... + gcd(i+k-1,j)
+ gcd(i,j+1) + gcd(i+1,j+1) + ... + gcd(i+k-1,j+1)
+ ...
+ gcd(i,j+k-1) + gcd(i+1,j+k-1) + ... + gcd(i+k-1,j+k-1)

可以通过预处理出每一列的前缀gcd和来快速计算每个子矩阵的和。具体地，设第j列的前缀gcd和为pre_gcd(j)，则上式可以转化为：

sum(i,j,k) = pre_gcd(j) - pre_gcd(j+k) + pre_gcd(j+k-1) - pre_gcd(j-1)
+ pre_gcd(j+1) - pre_gcd(j+k+1) + pre_gcd(j+k) - pre_gcd(j)

因此，我们只需要预处理出每一列的前缀gcd和，然后枚举每个k * k的子矩阵，计算其和即可。时间复杂度为O(nmlognlogm + nmk^2)。

给定一个n行m列的二维矩阵,每个位置的数字取值为0

这个矩阵可以被看作一个灰度图像，其中每行表示图像中的一行像素，每列表示图像中的一列像素。由于每个位置的数字都取值为0，因此该图像为完全黑色。在计算机视觉和图像处理领域，通常需要将图像矩阵中的像素值进行变换、滤波、编码等操作，以便完成图像分析、识别、压缩等任务。但如果矩阵中的像素值全为0，这些操作就无法实现，因为没有像素信息可供利用。

在数学中，矩阵是一个二维数组，通常表示为一个大写字母，例如A、B、C等。每个矩阵的元素都可以用小写字母表示，例如a[i,j]、b[i,j]、c[i,j]等。矩阵的乘法、加法、转置等运算在数学中有着丰富的理论基础和广泛的应用。在计算机科学中，矩阵也广泛应用于许多领域，例如机器学习、图形学、物理模拟、信号处理等。二维矩阵也可以看作是一个二维网格，其中每个位置的数字对应该网格的一个格点。因此，矩阵中的数字可以表示为该网格中的一个点的坐标，例如a[i,j]对应网格中的第i行第j列的点。