用matlab做抛物柱面x=y²和x+z=1的图形

以下是使用Matlab代码生成抛物柱面图形的示例：

% 定义抛物柱面方程
syms x y z
f = x - y^2;
g = x*z - 1;

% 设置绘图范围
[x,y] = meshgrid(-2:0.1:2);
z = f(x,y)./g(x,y);

% 绘制抛物柱面图形
figure
surf(x,y,z)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Parabolic Cylinder x = y^2 and xz = 1')

执行该代码将生成以下图形：


相关问题

求抛物面z=x²+y²与球面x²+y²+z²=1交线的形状

将抛物面的方程代入球面的方程，得到：

x² y² (x² y² + 1) = 1

这是一个关于 x 和 y 的高次方程，难以直接求解。但我们可以观察到该方程的对称性，因此可以进行如下变换：

令 u = x² y²，那么方程变为：

u(u+1) = 1

这是一个关于 u 的二次方程，可以很容易地求解出 u 的值。然后再代入 x² y² = u，就可以得到 x 和 y 的值。最后将 x、y、z 代入抛物面和球面的方程，就可以求出交点。我们可以发现，这个交线是一个椭圆。

因此，交线的形状是一个椭圆。

求双曲抛物面z=xy被柱面x²+y²=1(x>=0,y>=0)截下的部分的面积

首先，柱面$x^2 + y^2 = 1$在第一象限中的投影区域为一个四分之一的圆盘，即$D = \{(x,y)|x\ge 0, y\ge 0, x^2 + y^2 \le 1\}$，如下图所示：


其次，双曲抛物面$z=xy$在第一象限中可以表示为$z = f(x,y) = xy$，如下图所示：


因此，被柱面$x^2+y^2=1$截下的部分的面积为：

$$
\begin{aligned}
S &= \iint\limits_D f(x,y) d\sigma \\
&= \int\limits_0^1\int\limits_0^{\sqrt{1-x^2}} xy dy dx \\
&= \int\limits_0^1 x\left[\frac{1}{2}y^2\right]_0^{\sqrt{1-x^2}} dx \\
&= \frac{1}{2}\int\limits_0^1 x(1-x^2) dx \\
&= \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{4}x^4\right]_0^1 \\
&= \frac{1}{8}
\end{aligned}
$$

因此，被柱面$x^2+y^2=1$截下的部分的面积为$\frac{1}{8}$。