z=x²+y²+xy是什么图像

这是一个二次曲面方程，具体的图像取决于xz平面和yz平面上的截面。在xz平面上，当y=0时，方程简化为z=x²，这是一个开口向上的抛物面；当x=0时，方程简化为z=y²，这也是一个开口向上的抛物面。在yz平面上，当x=0时，方程简化为z=y²，这仍然是一个开口向上的抛物面；当y=0时，方程简化为z=x²，也是一个开口向上的抛物面。因此，这个方程描述的是一个沿着z轴向上开口的双曲抛物面。

相关问题

求抛物面z=x²+y²与球面x²+y²+z²=1交线的形状

将抛物面的方程代入球面的方程，得到：

x² y² (x² y² + 1) = 1

这是一个关于 x 和 y 的高次方程，难以直接求解。但我们可以观察到该方程的对称性，因此可以进行如下变换：

令 u = x² y²，那么方程变为：

u(u+1) = 1

这是一个关于 u 的二次方程，可以很容易地求解出 u 的值。然后再代入 x² y² = u，就可以得到 x 和 y 的值。最后将 x、y、z 代入抛物面和球面的方程，就可以求出交点。我们可以发现，这个交线是一个椭圆。

因此，交线的形状是一个椭圆。

使用梯度法且用matlab写一段代码关于求出以下函数的最小值并要求绘画出图像函数如下：z＝x²+2xy+5y²+x-3y

梯度法是一种优化算法，用于寻找函数的局部极小点。对于给定的函数 \( z = x^2 + 2xy + 5y^2 + x - 3y \)，我们可以首先计算其偏导数，即对 \( x \) 和 \( y \) 的导数，然后迭代更新 \( x \) 和 \( y \) 的值直到找到最小值。以下是使用Matlab编写的一个简单示例：

% 定义目标函数
fun = @(x,y) x.^2 + 2*x*y + 5*y.^2 + x - 3*y;

% 初始化随机搜索点
[x0, y0] = randn(1, 2);

% 设置步长和最大迭代次数
step_size = 0.1;
max_iter = 100;

for iter = 1:max_iter
    % 计算梯度
    dzdx = 2*x + 2*y + 1;
    dzdy = 4*y + 2*x - 3;
    
    % 更新搜索点
    dx = -dzdx * step_size;
    dy = -dzdy * step_size;
    
    % 更新新的位置
    [x, y] = x + dx;
    [x, y] = y + dy;
    
    % 检查是否达到最小值或达到迭代上限
    if abs(dzdx) < 1e-6 && abs(dzdy) < 1e-6
        break; % 如果梯度接近0，则认为找到了局部最小值
    end
    
    % 绘制函数图像（这里假设每10次迭代绘制一次）
    if mod(iter, 10) == 0
        surf(x, y, fun(x, y));
        xlabel('x');
        ylabel('y');
        zlabel('z');
        drawnow;
    end
end

% 输出最小值点
[min_z, min_xy] = fun(x, y);
fprintf('Minimum value found at (x, y): (%f, %f), with z = %f.\n', x, y, min_z);

运行此代码会逐步搜索函数的局部最小值，并在每10次迭代后显示函数的三维图像。注意这仅是一个基本的梯度下降算法，实际应用中可能需要更复杂的策略，如使用拟牛顿法或自适应学习率等。