(2)求幂级数\sum \limits _{n=1}^{ \infty }(-1)^{n-1} \frac {(n+1)}{2^{n}}x^{n}的和函数

我们可以对幂级数进行求和，得到：

$$
\begin{aligned}
\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{(n+1)}{2^n}x^n &= \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{n}{2^n}x^n + \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{1}{2^n}x^n \\
&= \sum_{n=1}^\infty \left(-\frac{x}{2}\right)^n + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-x)^n}{2^n} \\
&= \frac{-\frac{x}{2}}{1+\frac{x}{2}} + \frac{1}{1+\frac{x}{2}} \\
&= \frac{1-x}{1+x/2}
\end{aligned}
$$

因此，幂级数的和函数为 $\frac{1-x}{1+x/2}$。

相关问题

(2)求幂级数\sum \limits _{n=1}^{ \infty }(-1)^{n-1} \frac {(n+1)}{2^{n}}x^{n}的和函数.

我们先对幂级数进行求和，有：

$$\begin{aligned} \sum \limits _{n=1}^{ \infty }(-1)^{n-1} \frac {(n+1)}{2^{n}}x^{n} &= x \sum \limits _{n=1}^{ \infty }(-1)^{n-1} \frac {n}{2^{n}}x^{n-1} + \sum \limits _{n=1}^{ \infty }(-1)^{n-1} \frac {1}{2^{n}}x^{n} \\ &= x \sum \limits _{n=1}^{ \infty } \left( -\frac {x}{2} \right) ^{n-1} + \frac {1}{1+\frac {x}{2}} \\ &= \frac {1}{1+\frac {x}{2}} - \frac {x}{1+\frac {x}{2}} \end{aligned} $$

因此，幂级数的和函数为：

$$f(x) = \frac {1}{1+\frac {x}{2}} - \frac {x}{1+\frac {x}{2}}$$

幂级数的收敛半径怎么求

幂级数的收敛半径可以用根值测试（Cauchy-Hadamard公式）来求解。具体步骤如下：

1. 将幂级数表示成形如 $\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$ 的形式。

2. 计算幂级数的根值 $\lim_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}$。

3. 如果根值存在，则收敛半径 $R$ 等于 $\frac{1}{\lim\sup\limits_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}}$；如果根值不存在，则 $R=0$；如果根值为无穷大，则 $R=\infty$。

需要注意的是，根值测试只能判断幂级数在其收敛半径内的收敛性，不能判断在收敛半径外的发散性。