(2)求幂级数\sum \limits _{n=1}^{ \infty }(-1)^{n-1} \frac {(n+1)}{2^{n}}x^{n}的和函数

我们可以对幂级数进行求和，得到：

$$
\begin{aligned}
\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{(n+1)}{2^n}x^n &= \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{n}{2^n}x^n + \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{1}{2^n}x^n \\
&= \sum_{n=1}^\infty \left(-\frac{x}{2}\right)^n + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-x)^n}{2^n} \\
&= \frac{-\frac{x}{2}}{1+\frac{x}{2}} + \frac{1}{1+\frac{x}{2}} \\
&= \frac{1-x}{1+x/2}
\end{aligned}
$$

因此，幂级数的和函数为 $\frac{1-x}{1+x/2}$。