局部线性嵌入算法详细推导流程

局部线性嵌入算法（Locally Linear Embedding，LLE）是一种非线性降维算法，其基本思想是通过保留高维数据的局部线性特征来实现降维。下面通过详细的推导流程来理解LLE算法的实现过程。

1.定义问题

给定一个高维数据集$X=\{x_1,x_2,...,x_N\}$，其中每个样本$x_i$都是$d$维向量。该数据集需要被降维到一个低维空间中，使得样本间的关系在新的低维空间中得到保持。

2.选择邻域

定义邻域$L_i$为x_i的k个最近邻的集合。其中k是LLE算法的一个超参数，需要根据具体应用场景来调整。如下图所示：


3.构建权重矩阵

对于每个样本$x_i$，LLE算法的第一步是找出它在$k$个最近邻中的权重。权重矩阵$W$可以通过以下公式获得：

$$W=\begin{bmatrix}\omega_{1,1} & \omega_{1,2} & \cdots & \omega_{1,N}\\\omega_{2,1} & \omega_{2,2} & \cdots & \omega_{2,N}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\omega_{N,1} & \omega_{N,2} & \cdots &\omega_{N,N} \end{bmatrix}$$

其中，$\omega_{i,j}$是样本$x_i$和$x_j$之间的权重。它用于量化目标样本$i$与其邻域内样本$j$之间的线性关系。

权重需要满足以下三个条件：

- 非负性：权重必须非负，因为它代表了两个样本之间的相似度。
- 归一性：权重必须归一化，也就是说每个样本的权重之和必须等于1。
- 局部线性保持：权重必须保持目标样本和邻域内样本之间的局部线性关系。

4.求解局部重构权重

定义重构误差为$\epsilon(w_{i,j})$表示样本i可以被邻域样本的线性组合以$\epsilon(w_{i,j})$的误差重构，即：

$$\epsilon(w_{i,j})=\|\ x_i-\sum_{j\in L_i} w_{i,j} x_j\ \|^2$$

为了最小化$\epsilon(w_{i,j})$，需要求解权重$w_{i,j}$，使得其满足三个条件：

- 归一化条件： $\sum_{j\in L_i} w_{i,j}=1$
- 局部线性关系条件：$x_i=\sum_{j\in L_i} w_{i,j} x_j$
- 最小化重构误差：$\epsilon(w_{i,j})=\|\ x_i-\sum_{j\in L_i} w_{i,j} x_j\ \|^2$

为了求解权重，定义矩阵$Z$表示$x_i$向每个邻域点的向量，即：

$$Z = \begin{bmatrix}x_{i_1}-x_i & x_{i_2}-x_i & \cdots & x_{i_K}-x_i\end{bmatrix}$$

其中，$x_{i_j}$表示第$j$个邻域点。

可得到如下公式，用来计算样本$x_i$与邻域内其他点的距离平方和：

$$\epsilon(w_{i,j}) = (x_i-\sum_{j\in L_i} w_{i,j}x_j)^T(x_i-\sum_{j\in L_i} w_{i,j}x_j)$$

通过求导，可以得到权重$w_{i,j}$的解析解为：

$$w_i =\frac{(Z^TZ)^{-1}\vec{1}}{(\vec{1}^T(Z^TZ)^{-1}\vec{1})}$$

其中，$\vec{1}$表示全1的向量。

5.构建中心化权重矩阵

定义矩阵$M$为$L_i$中所有权重向量的拼接，它是一个$k \times N$的矩阵，即：

$$M = \begin{bmatrix}w_{1,1} & w_{1,2} & \cdots & w_{1,N}\\w_{2,1} & w_{2,2} & \cdots & w_{2,N}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\w_{N,1} & w_{N,2} & \cdots & w_{N,N} \end{bmatrix}$$

权重矩阵$W$可以通过矩阵$M$中心化得到，即：

$$W = (I-M)^T(I-M)$$

其中，$I$为单位矩阵。

6.求解新的低维表示

定义矩阵$Y$为新的低维表示，它是一个$N \times d'$的矩阵，其中$d'$表示降维后的维度。矩阵$Y$的每一行$y_i$表示对应样本$x_i$的低维表示，且满足L2范数为1。

通过求解下列优化问题，可以得到新的低维表示$Y$：

$$\min_{Y} \sum_{i=1}^{N}\|\ y_i-\sum_{j=1}^{N} W_{i,j}y_j\ \|^2$$

其中，$W_{i,j}$是已经求解得到的权重矩阵，表示样本$x_i$和$x_j$之间的权重。

可以将上面这个问题转换为求矩阵$Y$的特征值和特征向量。先计算矩阵$L=(I-W)^T(I-W)$的$d'+1$个最小特征值对应的特征向量，然后将特征向量按照对应的特征值的大小逆序排列，去除第一个特征向量（所有元素都相等的特征向量），然后将剩余的$d'$个特征向量构成矩阵$Y$。

值得注意的是，由于特征值问题通常比较容易受到数据噪声的干扰，因此LLE算法通常需要进行一些后处理，如移除无效的嵌入向量，或者通过局部判别分析（Locality Discriminant Embedding，LDE）进行过滤。

7.总结

LLE算法的核心思想是通过保留高维数据的局部线性特征来实现降维，具体步骤如下：

- 选择邻域：对于每个样本，找到它的k个最近邻。
- 构建权重矩阵：根据邻域点之间的线性关系计算权重矩阵。
- 求解局部重构权重：通过最小化重构误差计算样本和其邻域内其他点之间的权重。
- 构建中心化权重矩阵：通过中心化权重矩阵来编码邻域点之间的关系。
- 求解新的低维表示：通过求解矩阵$Y$的特征向量，将高维数据降维到低维空间中。

LLE算法的优点是能够保留局部线性结构，缺点是计算复杂度较高，不太适合用于大规模数据集。