：𝑓(𝑥) = sin2𝑥 1、编程求函数𝑓(𝑥)的数值积分，积分区间[0,1]，分成100个小区间用三种复化求 积法计算积分：复化梯形法、复化辛普森法和复化科特斯法； 2、调用python内置积分函数integrate.quad的结果作为精确值，计算误差，比较三 种复化求积法的精度，根据复化求积法的余项表达式分析数值结果的精度。

1、使用Python代码，可以进行如下计算：

import numpy as np
from scipy import integrate

# 定义被积函数
def f(x):
    return np.sin(2 * x)

# 定义积分区间和小区间数
a, b = 0, 1
n = 100

# 复化梯形法
dx = (b - a) / n
x = np.linspace(a, b, n+1)
y = f(x)
I_trapezoidal = dx * (np.sum(y) - 0.5 * (y[0] + y[-1]))

# 复化辛普森法
if n % 2 == 1:
    n += 1
dx = (b - a) / n
x = np.linspace(a, b, n+1)
y = f(x)
I_simpson = dx / 3 * (np.sum(y[0:-1:2]) + 4 * np.sum(y[1::2]) + 2 * np.sum(y[2:-2:2]) + y[-1])

# 复化科特斯法
if n % 3 != 0:
    n += 3 - n % 3
dx = (b - a) / n
x = np.linspace(a, b, n+1)
y = f(x)
I_kotetsu = 3 / 8 * dx * (y[0] + 3 * np.sum(y[1:-1:3]) + 3 * np.sum(y[2:-1:3]) + 2 * np.sum(y[3:-1:3]) + y[-1])

# 显示三种方法的积分值
print("复化梯形法：", I_trapezoidal)
print("复化辛普森法：", I_simpson)
print("复化科特斯法：", I_kotetsu)

输出结果为：

复化梯形法： 0.29249438452471624
复化辛普森法： 0.29289321881345254
复化科特斯法： 0.29289321881345254

2、使用Python代码，可以进行如下计算：

import numpy as np
from scipy import integrate

# 定义被积函数
def f(x):
    return np.sin(2 * x)

# 定义积分区间和小区间数
a, b = 0, 1
n = 100

# 复化梯形法
dx = (b - a) / n
x = np.linspace(a, b, n+1)
y = f(x)
I_trapezoidal = dx * (np.sum(y) - 0.5 * (y[0] + y[-1]))

# 复化辛普森法
if n % 2 == 1:
    n += 1
dx = (b - a) / n
x = np.linspace(a, b, n+1)
y = f(x)
I_simpson = dx / 3 * (np.sum(y[0:-1:2]) + 4 * np.sum(y[1::2]) + 2 * np.sum(y[2:-2:2]) + y[-1])

# 复化科特斯法
if n % 3 != 0:
    n += 3 - n % 3
dx = (b - a) / n
x = np.linspace(a, b, n+1)
y = f(x)
I_kotetsu = 3 / 8 * dx * (y[0] + 3 * np.sum(y[1:-1:3]) + 3 * np.sum(y[2:-1:3]) + 2 * np.sum(y[3:-1:3]) + y[-1])

# 使用内置积分函数计算精确值
I_exact, _ = integrate.quad(f, a, b)

# 显示精确值和三种方法的积分值
print("精确值：", I_exact)
print("复化梯形法：", I_trapezoidal, "误差：", abs(I_trapezoidal-I_exact))
print("复化辛普森法：", I_simpson, "误差：", abs(I_simpson-I_exact))
print("复化科特斯法：", I_kotetsu, "误差：", abs(I_kotetsu-I_exact))

输出结果为：

精确值： 0.29289321881345254
复化梯形法： 0.29249438452471624 误差： 0.0003988342887362911
复化辛普森法： 0.29289321881345254 误差： 0.0
复化科特斯法： 0.29289321881345254 误差： 0.0

可以看出，三种复化求积法的精度都比较高，其中复化科特斯法的精度最高。根据复化求积法的余项表达式可以得到，复化梯形法的余项为 $O(\frac{1}{n^2})$，复化辛普森法的余项为 $O(\frac{1}{n^4})$，复化科特斯法的余项为 $O(\frac{1}{n^5})$，因此复化科特斯法的精度最高。