数值分析实验：拉格朗日插值计算sin(x_i)与L1,L2

在数值分析实验（齐治昌）的第二章第21题中，主要任务是计算一个特定函数的函数表，并使用一次和二次拉格朗日插值法对函数进行近似。给定的函数是正弦函数sin(x)，其中x的取值为x_i = iπ/20，i从0到10。实验涉及以下几个关键步骤： 1. **函数表的计算**： 首先，通过调用C++标准库`math.h`中的`sin`函数，计算出一系列x_i对应下的sin(x_i)值，将这些值存储在数组f中。程序通过循环结构遍历x_i的值，并输出对应的函数值。 2. **拉格朗日插值公式应用**： 拉格朗日插值公式用于多项式近似，这里采用的是线性（一次）插值公式L1和二次插值公式L2。对于每个~x_i = PI * (i + 0.5) / 20，计算L1和L2，即L1(~x_i) = f[m+1] * ((x1[m]-x[m])/(x[m+1]-x[m])) + f[m] * ((x1[m]-x[m+1])/(x[m]-x[m+1])) 和 L2(m) = f[m] * ((x1[m]-x[m+1])/(x[m]-x1[m])) + f[m+1] * ((x1[m]-x[m])/(x1[m]-x[m+1]))。这一步骤同样通过循环遍历x1数组来完成，并将插值结果存储在L1和L2数组中。 3. **输出结果**： 实验最后，程序会输出计算得到的原始函数值sin(x_i)以及使用拉格朗日插值后的结果L1(~x_i)和L2(~x_i)，以便于观察插值的精度和效果。 4. **总结与感想**： 作者认为这个问题相对简单，可能是由于它涉及到基础的数值分析概念，如使用拉格朗日插值来逼近连续函数。这种练习有助于学生理解插值算法在实际应用中的运用，并熟悉C++编程语言的实现。 该实验的核心知识点包括：正弦函数的计算、拉格朗日插值的基本原理（一次和二次），以及如何将这些理论应用于数值分析中的函数逼近。通过这个实验，学生可以加深对函数数值求解的理解，提高编程技能，并实践插值算法的实际应用。