数值分析实验:拉格朗日插值计算sin(x_i)与L1,L2

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在数值分析实验(齐治昌)的第二章第21题中,主要任务是计算一个特定函数的函数表,并使用一次和二次拉格朗日插值法对函数进行近似。给定的函数是正弦函数sin(x),其中x的取值为x_i = iπ/20,i从0到10。实验涉及以下几个关键步骤: 1. **函数表的计算**: 首先,通过调用C++标准库`math.h`中的`sin`函数,计算出一系列x_i对应下的sin(x_i)值,将这些值存储在数组f中。程序通过循环结构遍历x_i的值,并输出对应的函数值。 2. **拉格朗日插值公式应用**: 拉格朗日插值公式用于多项式近似,这里采用的是线性(一次)插值公式L1和二次插值公式L2。对于每个~x_i = PI * (i + 0.5) / 20,计算L1和L2,即L1(~x_i) = f[m+1] * ((x1[m]-x[m])/(x[m+1]-x[m])) + f[m] * ((x1[m]-x[m+1])/(x[m]-x[m+1])) 和 L2(m) = f[m] * ((x1[m]-x[m+1])/(x[m]-x1[m])) + f[m+1] * ((x1[m]-x[m])/(x1[m]-x[m+1]))。这一步骤同样通过循环遍历x1数组来完成,并将插值结果存储在L1和L2数组中。 3. **输出结果**: 实验最后,程序会输出计算得到的原始函数值sin(x_i)以及使用拉格朗日插值后的结果L1(~x_i)和L2(~x_i),以便于观察插值的精度和效果。 4. **总结与感想**: 作者认为这个问题相对简单,可能是由于它涉及到基础的数值分析概念,如使用拉格朗日插值来逼近连续函数。这种练习有助于学生理解插值算法在实际应用中的运用,并熟悉C++编程语言的实现。 该实验的核心知识点包括:正弦函数的计算、拉格朗日插值的基本原理(一次和二次),以及如何将这些理论应用于数值分析中的函数逼近。通过这个实验,学生可以加深对函数数值求解的理解,提高编程技能,并实践插值算法的实际应用。