已知椭圆曲线方程E11为：y 2 y^2y \n2\n =x 3 x^3x \n3\n +x xx+6（mod 11)，取p（2，7）为一个生成元，，令k=3，d=5，e=h（m），写出签名与验证签名过程

签名过程：

1. 选取私钥为d=5。

2. 选取一个随机数k=3。

3. 计算椭圆曲线上的点P=k*G，其中G为公钥p(2,7)。

首先计算2G=G+G，3G=G+2G。根据椭圆曲线的加法规则，有：

2G = (6, 3)

3G = (2, 6)

因此，P=3G=(2,6)。

4. 计算r=x(P) mod 11，r为签名中的第一个参数。

r=2 mod 11。

5. 计算s=k^-1*(e+rd) mod (11-1)，其中e为消息的哈希值。

假设消息的哈希值为h(m)=8。

首先计算k^-1 mod 10，根据扩展欧几里得算法，有：

3*7 + (-10)*2 = 1

因此，k^-1=7 mod 10。

接着计算s=7*(8+2*5) mod 10=9。

因此，签名为(2, 9)。

验证签名过程：

1. 接收到签名信息(2, 9)和消息m。

2. 计算椭圆曲线上的点P=s*G-e*P，其中G为公钥p(2,7)。

首先计算e的哈希值为h(m)=8。

接着计算-e*P=-5*(2,6)=(-10,2)，根据椭圆曲线的加法规则。

最后计算P=9*G+(-10,2)=s*G。

因此，P=(7,3)。

3. 计算r=x(P) mod 11。

r=7 mod 11。

4. 验证签名是否有效，即判断r是否等于签名中的第一个参数。

由于r=7，而签名中的第一个参数为2，两者不相等，因此签名无效。

因此，此签名是无效的。

相关问题

已知椭圆曲线方程E11为：y^2=x^3+x+6（mod 11)，取p（2，7）为一个生成元，，令k=3，d=5，e=H（M），写出签名与验证签名过程

签名过程：

1. 随机选择一个整数k ∈ [1, 10]，计算P = kP。
2. 计算r = xP mod 11，如果r = 0，则重新选择k。
3. 计算s = k^(-1)(e + dr) mod 11，如果s = 0，则重新选择k。
4. 签名为（r，s）。

验证签名过程：

1. 验证r，s是否在[1,10]范围内。
2. 计算w = s^(-1) mod 11。
3. 计算u1 = ew mod 11和u2 = rw mod 11。
4. 计算点Q = u1P + u2p。
5. 如果r = xQ mod 11，则签名有效，否则无效。

已知椭圆曲线E11（1，6）表示 y2 = (x3 + x + 6) mod 11,用python编程求出该曲线上所有的点。

在Python中，我们可以使用elliptic_curve库来处理椭圆曲线。但是，对于模数较小的情况（如11），直接计算所有点可能会非常耗时，因为每个点都需要通过逐个尝试所有可能的x值来找到对应的y值，而这个集合通常是无限的，除非曲线有特殊性质（比如存在无穷远点）。对于这种简单的曲线，更常见的做法是使用更高效的算法，例如Baby-step Giant-step。

以下是一个基本的示例，展示如何遍历可能的x值并检查它们是否满足曲线方程：

def find_points_on_curve(E11):
    p = 11
    a = 0
    b = 6
    points = []

    def point(x):
        y_square = ((x**3 + a*x + b) % p)**(p+1) % p
        if y_square == 0 and x != 0 and x ** 2 != -b % p:
            return (x, int(y_square ** 0.5))  # 返回合法的点对，注意模p取整

    for i in range(1, p):  # 取模11是因为我们只关心小于p的x值
        point_x = point(i)
        if point_x:
            points.append(point_x)

    # 包含原点O=(0,0)
    points.append((0, 0))
    return points

# 计算E11的所有点
all_points = find_points_on_curve((1, 6))
print("椭圆曲线E11上的所有点:", all_points)