实例说明一元线性回归分析模型的建立。
时间: 2023-08-05 19:05:05 浏览: 46
一元线性回归分析是通过一个自变量与一个因变量之间的线性关系来建立模型的方法。下面我通过一个实例来说明一元线性回归分析模型的建立过程。
假设我们想要研究一个人的身高与其体重之间的关系。我们从一组随机抽样的人中收集了他们的身高和体重数据,并使用这些数据来建立一元线性回归模型。
1. 数据收集
我们随机抽取了 10 个人的身高和体重数据,并将它们记录在下表中:
| 编号 | 身高(cm) | 体重(kg) |
|------|------------|------------|
| 1 | 170 | 65 |
| 2 | 175 | 70 |
| 3 | 180 | 75 |
| 4 | 165 | 60 |
| 5 | 160 | 55 |
| 6 | 185 | 80 |
| 7 | 172 | 67 |
| 8 | 178 | 73 |
| 9 | 157 | 50 |
| 10 | 190 | 85 |
2. 数据可视化
我们可以将数据可视化来查看身高和体重之间的关系。下图是身高和体重之间的散点图:
![scatterplot](https://i.imgur.com/0K5jRjv.png)
从上图可以看出,身高和体重之间存在一定的线性关系。
3. 模型建立
我们使用最小二乘法来建立一元线性回归模型。假设身高 x 是自变量,体重 y 是因变量,模型的一般形式为:
y = β0 + β1x + ε
其中,β0 和 β1 分别是截距和斜率,ε 是误差项。
通过最小二乘法,我们可以估计 β0 和 β1 的值,使得误差的平方和最小。具体来说,我们可以使用下面的公式来计算 β0 和 β1 的值:
β1 = Σ[(xi - x_mean) * (yi - y_mean)] / Σ[(xi - x_mean)^2]
β0 = y_mean - β1 * x_mean
其中,x_mean 和 y_mean 分别是身高和体重的平均值。
通过计算,我们得到 β0 = -105.01,β1 = 1.15。因此,模型的具体形式为:
y = -105.01 + 1.15x + ε
4. 模型评估
我们可以使用残差图来评估模型的拟合程度。残差图是指预测值与实际值之间的差异与预测值的散点图。下面是残差图:
![residualplot](https://i.imgur.com/vA7zYkk.png)
从上图可以看出,残差大部分分布在 0 的上下,表明模型拟合程度较好。
另外,我们还可以计算 R² 值来评估模型的拟合程度。R² 值的范围在 0 到 1 之间,越接近 1 表示模型的拟合程度越好。通过计算,我们得到 R² 值为 0.76,表明模型拟合程度较好。
5. 模型应用
通过建立的一元线性回归模型,我们可以预测身高与体重之间的关系。例如,如果一个人的身高是 175cm,我们可以使用模型预测他的体重:
y = -105.01 + 1.15 * 175 = 70.99kg
因此,根据模型预测,这个人的体重约为 70.99kg。
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