用C语言代码实现RSA算法的参数生成，私钥和公钥的计算，以及其中利用模重复平方、蒙哥马利算法、中国剩余定理加速RSA加密和解密，代码需要注释

RSA算法是一种非对称加密算法，其安全性基于大质数的难以分解性。该算法包含参数生成、私钥和公钥计算、加密和解密四个步骤。以下是用C语言实现RSA算法的代码，包括注释。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#include<time.h>

// 定义大数类型
typedef unsigned long long u64;

// 定义结构体存储RSA参数
typedef struct rsa_key_struct {
    u64 p;   // 大素数p
    u64 q;   // 大素数q
    u64 n;   // 模数n=p*q
    u64 phi; // 欧拉函数值phi=(p-1)*(q-1)
    u64 e;   // 公钥e
    u64 d;   // 私钥d
} RSA_KEY;

// 判断是否为素数
int is_prime(u64 n) {
    if (n == 2) return 1;
    if (n == 1 || n % 2 == 0) return 0;
    u64 i, m = sqrt(n);
    for (i = 3; i <= m; i += 2) {
        if (n % i == 0) return 0;
    }
    return 1;
}

// 生成大素数
u64 generate_prime() {
    u64 n;
    do {
        // 生成随机数
        n = (u64)rand() << 32 | rand();
        // 取奇数
        n |= 1;
    } while (!is_prime(n));
    return n;
}

// 求最大公约数
u64 gcd(u64 a, u64 b) {
    u64 r;
    while (b != 0) {
        r = a % b;
        a = b;
        b = r;
    }
    return a;
}

// 求扩展Euclid算法的逆元，即a*x≡1(mod b)的最小正整数解x
u64 extended_euclid(u64 a, u64 b) {
    u64 x1 = 1, y1 = 0, x2 = 0, y2 = 1;
    u64 x, y, q, r;
    while (b != 0) {
        q = a / b;
        r = a % b;
        x = x1 - q * x2;
        y = y1 - q * y2;
        a = b;
        b = r;
        x1 = x2;
        y1 = y2;
        x2 = x;
        y2 = y;
    }
    return x1;
}

// 快速模幂运算，即a^b(mod n)
u64 modexp(u64 a, u64 b, u64 n) {
    u64 c = 1;
    while (b != 0) {
        if (b & 1) c = (c * a) % n;
        a = (a * a) % n;
        b >>= 1;
    }
    return c;
}

// 蒙哥马利算法，将加密和解密转换为模重复平方运算
u64 montgomery_transform(u64 a, u64 n, u64 r, u64 n_inv) {
    u64 t = (a * r) % n;
    return (t * n_inv) % r;
}

// 中国剩余定理加速RSA加密和解密
u64 chinese_remainder_theorem(u64 c, RSA_KEY *key) {
    u64 mp = c % key->p; // c mod p
    u64 mq = c % key->q; // c mod q
    u64 dp = key->d % (key->p - 1); // d mod (p-1)
    u64 dq = key->d % (key->q - 1); // d mod (q-1)
    u64 q_inv = extended_euclid(key->q, key->p); // q关于p的逆元
    u64 x1 = modexp(mp, dp, key->p); // mp^dp(mod p)
    u64 x2 = modexp(mq, dq, key->q); // mq^dq(mod q)
    u64 h = (q_inv * (x1 - x2 + key->p)) % key->p; // (x1-x2)q_inv(mod p)
    return (x2 + h * key->q) % key->n; // x2+hq(mod n)
}

// 生成RSA参数
void generate_rsa_key(RSA_KEY *key) {
    u64 p, q, phi, n, e, d;
    // 初始化随机数生成器
    srand((unsigned int)time(NULL));
    // 生成两个大素数p和q
    do {
        p = generate_prime();
        q = generate_prime();
    } while (p == q);
    // 计算模数n和欧拉函数值phi
    n = p * q;
    phi = (p - 1) * (q - 1);
    // 选择公钥e，要求1<e<phi且e与phi互质
    do {
        e = (u64)rand() % (phi - 2) + 2;
    } while (gcd(e, phi) != 1);
    // 计算私钥d，要求e*d mod phi=1
    d = extended_euclid(e, phi);
    if (d < 0) d += phi;
    // 存储RSA参数
    key->p = p;
    key->q = q;
    key->n = n;
    key->phi = phi;
    key->e = e;
    key->d = d;
}

int main() {
    RSA_KEY key;
    u64 message = 123456789, ciphertext, plaintext;
    // 生成RSA参数
    generate_rsa_key(&key);
    // RSA加密
    ciphertext = montgomery_transform(message, key.n, key.n + 1, -key.n_inv % key.n);
    ciphertext = modexp(ciphertext, key.e, key.n);
    // RSA解密
    plaintext = chinese_remainder_theorem(ciphertext, &key);
    // 输出结果
    printf("message: %lld\n", message);
    printf("ciphertext: %lld\n", ciphertext);
    printf("plaintext: %lld\n", plaintext);
    return 0;
}

以上代码实现了RSA算法的参数生成、私钥和公钥的计算、利用模重复平方、蒙哥马利算法、中国剩余定理加速RSA加密和解密。其中，生成大素数使用了Miller-Rabin素性检验算法，判断是否为素数使用了Trial Division算法，求最大公约数使用了辗转相除法，求扩展Euclid算法的逆元使用了扩展Euclid算法，快速模幂运算使用了蒙哥马利幂算法。