证明欧几里得范数满足范数的定义 欧几里得范数定义: 给定n维向量x = [x1,x2,.., xn]，其欧几里得范数为: 2 = sqrt( x12 + x22 + ... + xn2)

为了证明欧几里得范数满足范数的定义，我们需要证明它满足以下三个性质：

1. 非负性：对于任意 $x\in\mathbb{R}^n$，有 $\left\|x\right\|_2 \geq 0$，且当且仅当 $x = 0$ 时，有 $\left\|x\right\|_2 = 0$。

2. 齐次性：对于任意 $x\in\mathbb{R}^n$ 和 $\alpha\in\mathbb{R}$，有 $\left\|\alpha x\right\|_2 = \left|\alpha\right|\left\|x\right\|_2$。

3. 三角不等式：对于任意 $x,y\in\mathbb{R}^n$，有 $\left\|x+y\right\|_2 \leq \left\|x\right\|_2 + \left\|y\right\|_2$。

现在我们分别证明这三个性质：

1. 对于任意 $x\in\mathbb{R}^n$，我们有：

$$\left\|x\right\|_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2} \geq 0$$

当且仅当 $x = 0$ 时，有 $\left\|x\right\|_2 = 0$。因此，欧几里得范数满足非负性。

2. 对于任意 $x\in\mathbb{R}^n$ 和 $\alpha\in\mathbb{R}$，我们有：

$$\left\|\alpha x\right\|_2 = \sqrt{(\alpha x_1)^2 + (\alpha x_2)^2 + \cdots + (\alpha x_n)^2} = \left|\alpha\right|\sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2} = \left|\alpha\right|\left\|x\right\|_2$$

因此，欧几里得范数满足齐次性。

3. 对于任意 $x,y\in\mathbb{R}^n$，我们有：

$$\left\|x+y\right\|_2^2 = (x_1+y_1)^2 + (x_2+y_2)^2 + \cdots + (x_n+y_n)^2$$

$$= x_1^2 + y_1^2 + 2x_1y_1 + x_2^2 + y_2^2 + \cdots + x_n^2 + y_n^2 + 2x_ny_n$$

$$\leq (x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2) + (y_1^2 + y_2^2 + \cdots + y_n^2) + 2\sqrt{(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2)(y_1^2 + y_2^2 + \cdots + y_n^2)}$$

$$= \left\|x\right\|_2^2 + \left\|y\right\|_2^2 + 2\left\|x\right\|_2\left\|y\right\|_2$$

$$= (\left\|x\right\|_2 + \left\|y\right\|_2)^2$$

因此，取平方根可得 $\left\|x+y\right\|_2 \leq \left\|x\right\|_2 + \left\|y\right\|_2$。因此，欧几里得范数满足三角不等式。

综上所述，欧几里得范数满足范数的定义。