有限域多项式乘法Python

以下是一个简单的 Python 函数，用于计算两个有限域多项式的乘积。该函数采用多项式系数的列表作为输入，并返回一个表示结果的多项式系数的列表。

def gf_poly_mul(p1, p2, p):
    """
    计算两个有限域多项式的乘积
    :param p1: 第一个多项式的系数列表
    :param p2: 第二个多项式的系数列表
    :param p: 有限域的模数
    :return: 乘积多项式的系数列表
    """
    m = len(p1)
    n = len(p2)
    res = [0] * (m + n - 1)
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            res[i + j] += p1[i] * p2[j]
            res[i + j] %= p
    return res

这个函数遍历两个多项式的所有项，将它们相乘并将结果添加到乘积多项式的正确位置。在每次乘法之后，结果都会被模以有限域的模数 p，以保持结果仍然在有限域中。

这个函数的时间复杂度为 O(mn)，其中 m 和 n 分别是两个多项式的次数。

相关问题

有限域GF(2^n)下求多项式乘法

在有限域GF(2^n)下，多项式乘法可以通过布尔运算来实现。具体来说，我们可以将每个多项式看作一个二进制数，然后使用位运算来代替乘法运算。

设多项式A和B的次数分别为m和n，则它们的乘积C的次数为m+n。因此，我们需要创建一个长度为m+n+1的数组来存储C的系数。

具体的多项式乘法算法如下：

1. 初始化C为长度为m+n+1的全零数组。
2. 对于B的每一位bi，如果bi为1，则将A左移i位，并将结果与C异或。
3. 返回C作为结果。

下面是一个示例代码，假设A和B都是长度为n的多项式：

def poly_multiply(A, B):
    n = len(A)
    C = [0] * (2 * n)
    for i in range(n):
        if B[i] == 1:
            C[i:i+n] = [a^b for a, b in zip(C[i:i+n], A)]
    return C

这个算法的时间复杂度为O(n^2)，但是由于每个多项式都可以表示为一个长度为n的二进制数，因此可以使用更高效的位运算来实现，从而将时间复杂度降低到O(n*logn)。

GF(2^8)中的多项式乘法 通过编程实现算法：以二进制方式多项式，输入f(x)，g(x)及m(x)，输出结果

GF(2^8)中的多项式乘法，也称为有限域内的二进制 Galois 现场（Finite Field Arithmetic）中的多项式乘法，是在一个模2的扩展字段中进行的。在这个场合，每个元素可以表示为一个8位的二进制串，比如0到255。多项式通常由这些二进制位组成，例如f(x) = a7x^7 + a6x^6 + ... + a0 和 g(x) = b7x^7 + b6x^6 + ... + b0。

在编程中实现这个算法，你可以使用循环和位操作技巧。以下是基本步骤：

1. 初始化两个长度为16的数组，分别存储f(x)和g(x)的系数。
2. 使用逐位相乘的方法（类似于模拟手工长除法），从最高次幂开始计算乘积的每一项：
- 对于每一对系数a[i]和b[j]（i+j小于等于15），对应的结果系数是它们的按位异或(a[i] XOR b[j])，并将结果存入结果数组的相应位置（i+j的位置）。
- 如果(i+j == n)，那么需要将结果数组的第n+1位设置为1，这是因为高次幂会有一个额外的"1"（模2下相当于加1）。
- 同时，为了保持系数范围在GF(2^8)内，结果需要右移相应的位数（即i+j），然后与当前高位（高位左移一位）进行XOR。

3. 最终得到的结果数组就是h(x) = f(x) * g(x)，其中h(x)的系数构成了多项式。

以下是一个简单的Python示例，假设我们已经有了两个8位二进制表示的多项式：

def binary_poly_multiply(f, g):
    result_len = len(f) + len(g) - 1
    result = [0] * result_len

    for i in range(len(f)):
        for j in range(len(g)):
            index = i + j
            if index < result_len:
                result[index] ^= int(f[i]) << j

    return result