推导边界固支的斜拉桥振动固有模态的公式

边界固支的斜拉桥是一个典型的悬链线结构，其振动特性可以通过有限元分析或者解析法求解。下面推导一下边界固支的斜拉桥振动固有模态的解析公式。

假设边界固支的斜拉桥长度为 $L$，悬链线的形状为 $y(x)$，在自由振动状态下，悬链线的振动方程可以表示为：

$$
\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} + \frac{1}{EI}\left(\frac{\partial y}{\partial s}\right)^2 y = -\frac{\rho A}{EI}y\omega^2
$$

其中，$E$ 为弹性模量，$I$ 为截面惯性矩，$\rho$ 为单位长度质量，$A$ 为截面面积，$\omega$ 为自然频率，$s$ 为弧长坐标。

令 $u = y'' + \frac{1}{EI}\left(y'\right)^2 y$，则上述振动方程可以化为一阶微分方程：

$$
u' + \frac{\rho A}{EI}\omega^2y = 0
$$

边界条件为：

$$
y(0) = 0, y(L) = 0, y'(0) = 0, y'(L) = 0
$$

由于是边界固支的情况，因此需要满足 $y(0) = y'(0) = 0$，这可以通过设定以下形式的振动模态来实现：

$$
y(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \sin \frac{n\pi x}{L}
$$

代入振动方程，得到：

$$
u(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 \sin \frac{n\pi x}{L} + \frac{1}{EI}\left(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \frac{n\pi}{L} \cos \frac{n\pi x}{L}\right)^2 \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \sin \frac{n\pi x}{L}
$$

边界条件可以表示为：

$$
y(L) = \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \sin n\pi = 0\\
y'(L) = \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \frac{n\pi}{L} \cos n\pi = 0
$$

因此，我们可以得到以下求解自然频率的方程：

$$
\frac{\rho A}{EI}\omega^2 = \frac{\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 \sin \frac{n\pi x}{L}}{\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \sin \frac{n\pi x}{L}}
$$

边界条件可以帮助我们确定各个系数 $a_n$ 的值，具体来说，可以得到：

$$
a_n = \frac{4}{L} \int_0^L y(x) \sin \frac{n\pi x}{L} dx
$$

综上所述，边界固支的斜拉桥振动固有模态的解析公式为：

$$
\frac{\rho A}{EI}\omega^2 = \frac{\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 \sin \frac{n\pi x}{L}}{\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \sin \frac{n\pi x}{L}}
$$

其中，

$$
a_n = \frac{4}{L} \int_0^L y(x) \sin \frac{n\pi x}{L} dx
$$

式中的 $y(x)$ 为悬链线的形状，可以通过静力分析来求解。