一个半径为10的圆球体，内部有一个三面等面积的三角体，三角体每一角都与球体面相切。试问这个三角体内部有一个圆球体，这个圆球体体积最大时和最小时，半径各为多少？

这是一个比较复杂的几何问题。根据题意，可知内切球的半径与三角体的高相等，三角体的高又等于球体的直径，即20。因此内切球的半径为20/3。

接下来考虑如何求内切球体积的最大值和最小值。根据相似三角形的性质可知，内切球的半径与三角体的高成比例，即内切球的半径与球体的直径成比例，因此内切球体积与球体体积的比值为(20/3)^3/1000，即约为0.296。

由此可知，内切球体积最大时为球体体积的0.296倍，内切球的半径为20/3；内切球体积最小时为0，此时内切球不存在。