最优二叉搜索树 动态规划

最优二叉搜索树是一种特殊的二叉搜索树，它的查找效率比普通的二叉搜索树要高，因为它的平均查找次数更少。

在最优二叉搜索树中，根节点的键值是整棵树中键值的中位数，左子树中的键值均小于根节点的键值，右子树中的键值均大于根节点的键值。因此，最优二叉搜索树的构建需要考虑键值出现的概率，以及每个节点作为根节点时的查找次数。

动态规划是一种常见的求解最优二叉搜索树的方法。具体来说，我们可以定义一个二维数组dp[i][j]表示从i到j的最优二叉搜索树的期望查找次数。对于dp[i][j]，我们可以枚举它的根节点k，将其分成左子树(i, k-1)和右子树(k+1, j)，然后计算左右子树的期望查找次数，再加上根节点的查找次数p[k]，就可以得到dp[i][j]的值。

具体来说，dp[i][j]的计算公式如下：

dp[i][j] = min{dp[i][k-1] + dp[k+1][j] + sum(p[i...j])}，其中i<=k<=j

其中，sum(p[i...j])表示键值在区间[i,j]内的出现概率之和。通过这个公式，我们可以递归地计算所有的dp[i][j]，最终得到最优二叉搜索树的期望查找次数dp[1][n]。

最优二叉搜索树的动态规划算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n为节点数。

相关问题

最优二叉搜索树动态规划

最优二叉搜索树问题是一个经典的动态规划问题，旨在找到一棵二叉搜索树，使得在给定的概率分布下，查找任意元素的期望代价最小化。

解决这个问题的动态规划算法可以分为以下几个步骤：

1. 首先，我们需要将给定的元素按照升序排序，并计算出每个元素的概率。

2. 接下来，我们构建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从第i个元素到第j个元素构成的子数组的最优二叉搜索树的期望代价。

3. 然后，我们可以通过填充dp数组的方式来逐步计算最优解。具体地，我们从长度为1的子数组开始，然后逐步增加子数组的长度，直到整个数组。对于每个子数组，我们通过枚举根节点的位置来计算出最小的期望代价。

4. 在计算dp[i][j]时，我们可以考虑将每个元素k作为根节点，然后将子数组划分为左子树和右子树。左子树由元素i到k-1构成，右子树由元素k+1到j构成。然后，我们可以通过dp[i][k-1]和dp[k+1][j]来计算左子树和右子树的期望代价，并将它们与当前根节点的代价相加。

5. 最后，我们可以通过遍历不同的根节点位置，选择最小的代价作为dp[i][j]的值。

总结起来，最优二叉搜索树问题的动态规划算法主要通过填充二维数组dp来计算最优解。具体的步骤包括排序元素、初始化dp数组、计算dp数组的值，并通过选择最小代价来确定最优解。通过这种方法，我们可以找到在给定概率分布下查找元素的最优二叉搜索树。

参考文献：
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最优二叉搜索树动态规划C语言

最优二叉搜索树动态规划算法可以用C语言来实现。以下是一个伪代码示例：

#define MAXN 100
double w[MAXN];  // 存储关键字出现的概率
double e[MAXN][MAXN], wsum[MAXN][MAXN];

void optimal_bst(int n) {
    // 初始化e[i][i-1]和wsum[i][i-1]
    for (int i = 1; i <= n + 1; i++) {
        e[i][i-1] = wsum[i][i-1] = 0.0;
    }

    // 计算e和wsum
    for (int len = 1; len <= n; len++) {
        for (int i = 1; i <= n - len + 1; i++) {
            int j = i + len - 1;
            e[i][j] = INFINITY;
            wsum[i][j] = wsum[i][j-1] + w[j];
            for (int k = i; k <= j; k++) {
                double t = e[i][k-1] + e[k+1][j] + wsum[i][j];
                if (t < e[i][j]) {
                    e[i][j] = t;
                }
            }
        }
    }
}

其中，`w`数组存储关键字出现的概率，`e`数组和`wsum`数组分别存储最优二叉搜索树的期望代价和关键字权值的前缀和。`INFINITY`表示正无穷，可以使用`<float.h>`头文件中的`HUGE_VAL`宏定义。此外，`n`表示关键字的个数，数组下标从1开始。

以上是一个基本的最优二叉搜索树动态规划算法的C语言实现，具体实现还需要考虑输入输出、内存管理等问题。