最优二叉搜索树 动态规划

最优二叉搜索树是一种特殊的二叉搜索树，它的查找效率比普通的二叉搜索树要高，因为它的平均查找次数更少。

在最优二叉搜索树中，根节点的键值是整棵树中键值的中位数，左子树中的键值均小于根节点的键值，右子树中的键值均大于根节点的键值。因此，最优二叉搜索树的构建需要考虑键值出现的概率，以及每个节点作为根节点时的查找次数。

动态规划是一种常见的求解最优二叉搜索树的方法。具体来说，我们可以定义一个二维数组dp[i][j]表示从i到j的最优二叉搜索树的期望查找次数。对于dp[i][j]，我们可以枚举它的根节点k，将其分成左子树(i, k-1)和右子树(k+1, j)，然后计算左右子树的期望查找次数，再加上根节点的查找次数p[k]，就可以得到dp[i][j]的值。

具体来说，dp[i][j]的计算公式如下：

dp[i][j] = min{dp[i][k-1] + dp[k+1][j] + sum(p[i...j])}，其中i<=k<=j

其中，sum(p[i...j])表示键值在区间[i,j]内的出现概率之和。通过这个公式，我们可以递归地计算所有的dp[i][j]，最终得到最优二叉搜索树的期望查找次数dp[1][n]。

最优二叉搜索树的动态规划算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n为节点数。

相关问题

最优二叉搜索树动态规划

最优二叉搜索树问题是一个经典的动态规划问题，旨在找到一棵二叉搜索树，使得在给定的概率分布下，查找任意元素的期望代价最小化。

解决这个问题的动态规划算法可以分为以下几个步骤：

1. 首先，我们需要将给定的元素按照升序排序，并计算出每个元素的概率。

2. 接下来，我们构建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从第i个元素到第j个元素构成的子数组的最优二叉搜索树的期望代价。

3. 然后，我们可以通过填充dp数组的方式来逐步计算最优解。具体地，我们从长度为1的子数组开始，然后逐步增加子数组的长度，直到整个数组。对于每个子数组，我们通过枚举根节点的位置来计算出最小的期望代价。

4. 在计算dp[i][j]时，我们可以考虑将每个元素k作为根节点，然后将子数组划分为左子树和右子树。左子树由元素i到k-1构成，右子树由元素k+1到j构成。然后，我们可以通过dp[i][k-1]和dp[k+1][j]来计算左子树和右子树的期望代价，并将它们与当前根节点的代价相加。

5. 最后，我们可以通过遍历不同的根节点位置，选择最小的代价作为dp[i][j]的值。

总结起来，最优二叉搜索树问题的动态规划算法主要通过填充二维数组dp来计算最优解。具体的步骤包括排序元素、初始化dp数组、计算dp数组的值，并通过选择最小代价来确定最优解。通过这种方法，我们可以找到在给定概率分布下查找元素的最优二叉搜索树。

参考文献：
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最优二叉搜索树 动态规划

最优二叉搜索树（Optimal Binary Search Tree, 简称OBST）是指一种满足以下条件的二叉搜索树：

1. 对于任意一个节点，其左子树中的所有节点的值都比该节点的值小，右子树中的所有节点的值都比该节点的值大。

2. 对于一个节点，其左子树和右子树分别也是一棵二叉搜索树。

3. 对于给定的一组关键字，OBST的平均搜索代价（即搜索某个关键字所需的比较次数）最小。

为了求解OBST，我们可以使用动态规划算法。具体地，我们可以先将关键字按照其大小排序，然后定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示关键字i到j构成的子树的最小搜索代价。具体的状态转移方程为：

dp[i][j] = min{dp[i][k-1] + dp[k+1][j] + w(i,j)} (i <= k <= j)

其中，w(i,j)表示关键字i到j的权值之和。这个权值可以是它们在搜索树中出现的概率，也可以是它们在搜索树中出现的频率。最终的答案即为dp[1][n]，其中n为给定的关键字个数。

在计算dp数组时，我们可以使用一个辅助数组root，其中root[i][j]表示关键字i到j子树的根节点编号。具体地，我们可以枚举i到j中的每个节点k，计算dp[i][j]的值，并更新root[i][j]的值为k。最后，我们可以根据root数组构造出OBST的结构。

时间复杂度为O(n^3)，其中n为关键字的个数。