c++求圆形与方形重叠面积

要求圆形与方形重叠面积，可以分别求出它们的面积再减去它们不重叠的部分。具体做法如下：

1. 求圆形面积：$S_{c} = \pi r^2$，其中 $r$ 是圆的半径。

2. 求方形面积：$S_{s} = a^2$，其中 $a$ 是方形的边长。

3. 判断圆形与方形是否相交，如果不相交，则它们的重叠面积为 $0$。可以通过计算圆心到矩形各边的距离来判断，如果圆心到矩形的最短距离大于圆的半径，则两者不相交。

4. 如果圆形与方形相交，则求出它们的重叠部分。这里需要根据圆形与方形的位置关系分别讨论。

- 圆形完全包含在方形内部：重叠面积为圆形的面积 $S_{c}$。

- 方形完全包含在圆形内部：重叠面积为方形的面积 $S_{s}$。

- 圆形与方形相交，但圆形的一部分在方形外部：重叠面积为圆形面积减去圆心到方形边缘的距离小于等于半径的扇形面积，即 $S_{c} - r^2 \cos^{-1}(\frac{d}{r}) + d \sqrt{r^2-d^2}$，其中 $d$ 是圆心到方形边缘的距离。

- 方形与圆形相交，但方形的一部分在圆形外部：重叠面积为方形面积减去圆形外切正方形的面积，即 $S_{s} - (2r)^2$。

最终的重叠面积即为以上四种情况中的最小值。下面是一个 C++ 的实现示例：

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

const double PI = 3.14159265358979323846;

double circle_area(double r) {
    return PI * r * r;
}

double square_area(double a) {
    return a * a;
}

double distance(double x, double y, double w, double h) {
    double dx = abs(x - w / 2);
    double dy = abs(y - h / 2);
    if (dx > w / 2) {
        return sqrt(dx * dx + dy * dy);
    }
    if (dy > h / 2) {
        return sqrt(dx * dx + dy * dy);
    }
    return min(dx, dy);
}

double overlap_area(double x, double y, double r, double w, double h) {
    double sc = circle_area(r);
    double ss = square_area(min(w, h));
    double d = distance(x, y, w, h);
    if (d > r) {
        return 0;
    }
    if (d + r <= min(w, h)) {
        return min(sc, ss);
    }
    if (w >= h && x >= 0 && x <= w && y >= r && y <= h - r) {
        return sc - r * r * acos(d / r) + d * sqrt(r * r - d * d);
    }
    if (w <= h && y >= 0 && y <= h && x >= r && x <= w - r) {
        return sc - r * r * acos(d / r) + d * sqrt(r * r - d * d);
    }
    return ss - 4 * r * r;
}

int main() {
    double x, y, r, w, h;
    cin >> x >> y >> r >> w >> h;
    double oa = overlap_area(x, y, r, w, h);
    cout << oa << endl;
    return 0;
}