01背包问题动态规划最优解
时间: 2024-05-17 08:10:57 浏览: 15
01背包问题是一个经典的动态规划问题,其基本思想是:对于一组不同重量、不同价值的物品,我们选择将某些物品装入背包,背包具有一定的承载重量,使得装入背包中的物品总价值最大。
求解01背包问题的最优解可以采用动态规划算法。设dp[i][j]表示将前i个物品装入容量为j的背包中所能获得的最大价值,其中i表示前i个物品,j表示背包的容量。则dp[i][j]可以有两种情况转移而来:
1. 第i个物品不放入背包中,则dp[i][j] = dp[i-1][j];
2. 第i个物品放入背包中,则dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]] + v[i],其中w[i]表示第i个物品的重量,v[i]表示第i个物品的价值。
因此,最终求解的最大价值为:dp[n][m],其中n表示物品的个数,m表示背包的容量。
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背包问题的动态规划最优解
背包问题的动态规划最优解是将物品依次放入背包,并记录每个状态下的最优价值。具体步骤如下:
1. 定义状态:设 dp[i][j] 表示将前 i 个物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值。
2. 初始化状态:dp[0][j] = 0,dp[i][0] = 0,表示没有物品或者背包容量为 0 时,价值为 0。
3. 状态转移方程:对于第 i 个物品,有两种情况:
a. 不放入背包,此时价值为 dp[i-1][j]。
b. 放入背包,此时价值为 dp[i-1][j-w[i]] + v[i],其中 w[i] 为第 i 个物品的重量,v[i] 为第 i 个物品的价值。
因此,dp[i][j] 的最优值为以上两种情况中较大的一个:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])。
4. 最终结果:dp[n][m] 即为将 n 个物品放入容量为 m 的背包中所能获得的最大价值。
这样,通过动态规划求解背包问题的最优解,可以在 O(nm) 的时间复杂度内完成。
背包问题的动态规划最优解代码示例
以下是背包问题的动态规划最优解代码示例,假设背包容量为W,物品重量为wt,物品价值为val,物品数量为n:
```
int knapSack(int W, int wt[], int val[], int n)
{
int i, w;
int K[n+1][W+1];
// 填充K[][]表格底部(没有物品或背包容量为0)
for (i = 0; i <= n; i++) {
for (w = 0; w <= W; w++) {
if (i==0 || w==0)
K[i][w] = 0;
else if (wt[i-1] <= w)
K[i][w] = max(val[i-1] + K[i-1][w-wt[i-1]], K[i-1][w]);
else
K[i][w] = K[i-1][w];
}
}
return K[n][W];
}
```
该代码使用二维数组K[n+1][W+1]来保存子问题的解,其中K[i][w]表示在前i个物品中,当背包容量为w时的最大价值。它首先填充表格底部(没有物品或背包容量为0),然后使用动态规划的方法填充其余的单元格,直到K[n][W]表示最终的最大价值。
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