01背包问题动态规划的核心

01背包问题动态规划的核心在于状态转移方程的设计。

具体来说，我们可以用一个二维数组dp[i][j]表示在前i个物品中选择不超过j的最大价值。则状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i])

其中w[i]和v[i]分别表示第i个物品的重量和价值。这个方程的意义是：在前i个物品中，若不选第i个物品，则最大价值为dp[i-1][j]；若选第i个物品，则最大价值为dp[i-1][j-w[i]]+v[i]。我们需要取这两种情况中的最大值作为dp[i][j]的值。

因此，我们可以通过填表的方式求解dp数组，最终得到dp[n][W]的值，即在前n个物品中选择不超过W的最大价值。

需要注意的是，01背包问题的状态转移方程是基于一种贪心思想设计的，即每次选择当前能够得到的最大价值的物品。但是，这种贪心策略不一定能够得到最优解。因此，我们需要采用动态规划的方法，将问题拆分成子问题，通过求解子问题最优解得到原问题的最优解。

相关问题

算法设计与分析01背包问题动态规划

算法设计与分析中的01背包问题是指在给定背包容量和一组物品及其价值的情况下，选择一些物品放入背包中，使得放入背包的物品价值最大化，同时保证背包容量不超过限制。

动态规划是解决01背包问题的一种常用方法。动态规划思想是将一个大问题分解成多个小问题来解决，通常需要满足“最优子结构”和“无后效性”的条件。对于01背包问题，动态规划的核心思想是通过填表格来逐步求解问题的最优解。

具体来说，我们可以使用一个二维数组dp[i][j]来表示前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。对于第i个物品，我们有两种选择：放入背包中或者不放入。如果将第i个物品放入背包中，则当前状态的价值为dp[i-1][j-w[i]]+v[i]；如果不将第i个物品放入背包中，则当前状态的价值为dp[i-1][j]。因此，我们可以得到状态转移方程：dp[i][j]=max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i], dp[i-1][j])。最终答案即为dp[n][C]，其中n为物品数量，C为背包容量。

01背包问题动态规划一维数组

引用中提到，0-1背包问题的一维实现可以通过隐藏二维数组的第一维来实现。因此，0-1背包问题的一维实现的核心代码如下：

// 0-1背包问题一维数组优化的核心代码
for(int i=1; i<=n; i++) {
    for(int j=V; j>=vol[i]; j--) {
        c[j = max(c[j], c[j-vol[i]] + val[i]); // j>=vol[i时执行
    }
}

其中，c[j]表示将前i件物品放入容量为j的背包中的最大价值，vol[i]表示第i件物品的体积，val[i]表示第i件物品的价值。

通过引用中的解释，我们可以理解为什么可以利用一维数组优化0-1背包问题。0-1背包问题的一维实现的状态转移方程和二维实现的状态转移方程是一致的，只是隐藏了二维数组的第一维。因此，在本质上，0-1背包问题的一维实现和二维实现的原理是一致的。

综上所述，上述的代码段即为0-1背包问题的一维数组优化的核心代码。<span class="em">1</span><span class="em">2</span><span class="em">3</span>
#### 引用[.reference_title]
- *1* *2* *3* [0-1背包问题的一维数组优化解析](https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/126071689)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_2"}}] [.reference_item style="max-width: 100%"]
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