c++给出一数字 n，计算包含n个节点的二叉树数目有多少个。

对于包含 n 个节点的二叉树，我们可以将其划分成由一个根节点、左子树和右子树组成的三个部分。假设左子树有 i 个节点，右子树有 n-1-i 个节点，则可以通过左子树和右子树的组合方式得到包含 n 个节点的二叉树。

因此，我们可以通过枚举左子树节点数来计算包含 n 个节点的二叉树数目。设 f(n) 表示包含 n 个节点的二叉树数目，则可以得到递推公式：

f(n) = ∑(f(i) * f(n-1-i)), i = 0 ~ n-1

初始状态为 f(0) = 1，因为空树也算一棵二叉树。

下面是C++代码实现：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int numTrees(int n) {
    vector<int> dp(n + 1, 0);
    dp[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 0; j < i; ++j) {
            dp[i] += dp[j] * dp[i - 1 - j];
        }
    }
    return dp[n];
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    cout << numTrees(n) << endl;
    return 0;
}

时间复杂度为 O(n^2)，空间复杂度为 O(n)。

相关问题

编写算法计算二叉树中叶子结点数目c++

### 回答1：
你好，关于你的问题，我可以回答。计算二叉树中叶子结点数目c的算法可以使用递归方法，对于每个节点，如果它是叶子节点，则c++，否则递归计算它的左右子树叶子节点数目之和。需要注意的是，在递归过程中，需要对空节点进行处理，即空节点不计算在内。希望我的回答对你有所帮助！

### 回答2：
编写算法计算二叉树中叶子节点数目c的方法如下：

1. 初始化一个变量count，用于记录叶子节点的数目。

2. 如果输入的二叉树为空树，则返回0。

3. 如果输入的二叉树只有一个节点，判断该节点是否为叶子节点。如果是，则返回1；如果不是，则返回0。

4. 如果输入的二叉树不为空且节点数大于1，遍历每个节点。

4.1 如果当前节点是叶子节点（即左子树和右子树均为空），则将count加1。

4.2 如果当前节点的左子树不为空，则对左子树递归调用该算法，将返回的结果加到count上。

4.3 如果当前节点的右子树不为空，则对右子树递归调用该算法，将返回的结果加到count上。

5. 返回count作为算法的结果。

下面是一个示例的算法实现（使用Python语言）：

class TreeNode:
    def __init__(self, value):
        self.value = value
        self.left = None
        self.right = None

def count_leaf_nodes(root):
    if root is None:
        return 0
    if root.left is None and root.right is None:
        return 1
    count = 0
    if root.left is not None:
        count += count_leaf_nodes(root.left)
    if root.right is not None:
        count += count_leaf_nodes(root.right)
    return count

其中，`TreeNode`是一个表示二叉树节点的类，`value`表示节点的值，`left`和`right`分别表示左子树和右子树。

我们可以创建一个二叉树，并调用`count_leaf_nodes`函数来计算叶子节点的数目。示例如下：

# 创建一个二叉树
root = TreeNode(1)
root.left = TreeNode(2)
root.right = TreeNode(3)
root.left.left = TreeNode(4)
root.left.right = TreeNode(5)
root.right.left = TreeNode(6)
root.right.right = TreeNode(7)

# 调用算法计算叶子节点数目
leaf_count = count_leaf_nodes(root)
print(leaf_count)  # 输出结果为4

### 回答3：
要编写一个算法计算二叉树中叶子节点数目c，可以使用递归的方式来实现。递归是指在函数中调用自己，这样可以很方便地遍历二叉树的所有节点。

以下是一个用于计算二叉树中叶子节点数目的递归算法：

1. 首先，定义一个计数器变量count并初始化为0，用于记录叶子节点的数量。
2. 如果当前节点为空，则返回0。
3. 如果当前节点的左子树和右子树为空，则表示当前节点是一个叶子节点，将count加1。
4. 如果当前节点的左子树不为空，则递归调用该算法计算左子树的叶子节点数目，并将结果加到count上。
5. 如果当前节点的右子树不为空，则递归调用该算法计算右子树的叶子节点数目，并将结果加到count上。
6. 返回count作为最后的结果。

具体的实现代码如下：

class TreeNode:
    def __init__(self, data):
        self.data = data
        self.left = None
        self.right = None

def count_leaf_nodes(root):
    if root is None:
        return 0
    
    if root.left is None and root.right is None:
        return 1
    
    count = 0
    if root.left is not None:
        count += count_leaf_nodes(root.left)
    
    if root.right is not None:
        count += count_leaf_nodes(root.right)
    
    return count

以上代码中，先定义了一个节点类TreeNode，包含节点数据data以及左子节点left和右子节点right。然后定义了一个用于计算叶子节点数目的函数count_leaf_nodes，该函数使用递归的方式实现。在函数中，首先判断当前节点是否为空，如果为空则返回0；然后判断当前节点是否为叶子节点，如果是，则返回1；否则递归调用函数计算左子树和右子树的叶子节点数目，并加到计数器count上，最后返回count作为最终结果。

使用该算法，可以很方便地计算出二叉树中叶子节点的数目。

c++二叉树的创建与遍历并求叶子节点数目完整代码

当然，下面是一个示例的完整代码，用于创建和遍历二叉树，并计算叶子节点数目。

#include <iostream>
using namespace std;

struct TreeNode {
    int val;
    TreeNode* left;
    TreeNode* right;
    TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};

// 创建二叉树
TreeNode* createBinaryTree() {
    int val;
    cin >> val;

    if (val == -1) {
        return NULL;
    }

    TreeNode* root = new TreeNode(val);
    cout << "Enter left child of " << val << ": ";
    root->left = createBinaryTree();
    cout << "Enter right child of " << val << ": ";
    root->right = createBinaryTree();

    return root;
}

// 遍历二叉树（前序遍历）
void preOrderTraversal(TreeNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }

    cout << root->val << " ";
    preOrderTraversal(root->left);
    preOrderTraversal(root->right);
}

// 计算叶子节点数目
int countLeafNodes(TreeNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return 0;
    }

    if (root->left == NULL && root->right == NULL) {
        return 1;
    }

    return countLeafNodes(root->left) + countLeafNodes(root->right);
}

int main() {
    cout << "Enter root value (-1 for NULL): ";
    TreeNode* root = createBinaryTree();

    cout << "Preorder traversal: ";
    preOrderTraversal(root);
    cout << endl;

    int leafNodeCount = countLeafNodes(root);
    cout << "Number of leaf nodes: " << leafNodeCount << endl;

    return 0;
}

这段代码实现了创建二叉树、前序遍历二叉树以及计算叶子节点数目的功能。你可以根据需要修改或扩展代码。