CUDA实现二维FDTD

二维FDTD（Finite-Difference Time-Domain）是一种数值模拟方法，用于求解电磁波在二维空间中传播的问题。CUDA是一种并行计算平台，用于在NVIDIA GPU上加速计算。本文介绍如何使用CUDA实现二维FDTD。

首先，需要定义二维空间的网格。假设网格大小为NxM，每网格点上有一个电场和磁场分量。电场和磁场分别在x和y方向上按照时间进行更新。更新过程可以使用以下公式：

$$
\begin{aligned}
E_{x}(i,j,n+1) &= E_{x}(i,j,n) + \frac{\Delta t}{\epsilon_{0} \epsilon_{r}(i,j)} \left(\frac{H_{z}(i,j,n) - H_{z}(i-1,j,n)}{\Delta y} - \frac{H_{y}(i,j,n) - H_{y}(i,j-1,n)}{\Delta x}\right) \\
E_{y}(i,j,n+1) &= E_{y}(i,j,n) + \frac{\Delta t}{\epsilon_{0} \epsilon_{r}(i,j)} \left(\frac{H_{x}(i,j,n) - H_{x}(i,j-1,n)}{\Delta y} - \frac{H_{z}(i,j,n) - H_{z}(i-1,j,n)}{\Delta x}\right) \\
H_{z}(i,j,n+1) &= H_{z}(i,j,n) + \frac{\Delta t}{\mu_{0} \mu_{r}(i,j)} \left(\frac{E_{y}(i,j+1,n+1) - E_{y}(i,j,n+1)}{\Delta x} - \frac{E_{x}(i+1,j,n+1) - E_{x}(i,j,n+1)}{\Delta y}\right)
\end{aligned}
$$

其中，$E_{x}(i,j,n)$和$E_{y}(i,j,n)$表示电场在(i,j)点的x和y方向上的分量，$H_{z}(i,j,n)$表示磁场在(i,j)点上的z方向分量，$n$表示时间步长，$\Delta t$表示时间步长，$\Delta x$和$\Delta y$表示网格间距，$\epsilon_{r}(i,j)$和$\mu_{r}(i,j)$分别表示介电常数和磁导率。

在CUDA中，可以将网格点的电场和磁场分量存储在一个一维数组中，然后使用二维索引来访问。更新过程可以使用CUDA kernel函数来实现。在每次迭代中，每个线程负责更新一个网格点的电场和磁场分量。为了保证正确性，需要使用两个数组来存储上一次和本次迭代的电场和磁场分量。

下面是一个简单的CUDA kernel函数的例子：

__global__ void updateFields(float *Ex, float *Ey, float *Hz, float *Ex_prev, float *Ey_prev, float *Hz_prev, float *epsilon_r, float *mu_r, float dt, float dx, float dy, int Nx, int Ny) {
    int i = blockIdx.x * blockDim.x + threadIdx.x;
    int j = blockIdx.y * blockDim.y + threadIdx.y;
    int idx = i + j * Nx;
    if (i >= Nx || j >= Ny) return;

    Ex_prev[idx] = Ex[idx];
    Ey_prev[idx] = Ey[idx];
    Hz_prev[idx] = Hz[idx];

    float eps = epsilon_r[idx];
    float mu = mu_r[idx];

    if (i > 0 && j > 0 && i < Nx-1 && j < Ny-1) {
        float dHzdx = (Hz[idx] - Hz[idx-1]) / dx;
        float dHzdy = (Hz[idx] - Hz[idx-Nx]) / dy;
        float dHxdy = (Hz[idx+Nx] - Hz[idx]) / dy;
        float dHydx = (Hz[idx+1] - Hz[idx]) / dx;
        Ex[idx] = Ex_prev[idx] + dt / (eps * dy) * (dHzdy - dHxdy);
        Ey[idx] = Ey_prev[idx] + dt / (eps * dx) * (dHxdx - dHzdx);
        Hz[idx] = Hz_prev[idx] + dt / (mu * dx * dy) * (Ey[idx+Nx] - Ey[idx] - Ex[idx+1] + Ex[idx]);
    }
}

在主函数中，可以使用以下代码来调用CUDA kernel函数：

dim3 block_size(16, 16);
dim3 grid_size((Nx + block_size.x - 1) / block_size.x, (Ny + block_size.y - 1) / block_size.y);

for (int n = 0; n < Nt; ++n) {
    updateFields<<<grid_size, block_size>>>(Ex, Ey, Hz, Ex_prev, Ey_prev, Hz_prev, epsilon_r, mu_r, dt, dx, dy, Nx, Ny);
    cudaDeviceSynchronize();
}

其中，block_size和grid_size分别表示线程块和网格的大小。在每个时间步长中，调用CUDA kernel函数来更新电场和磁场分量。每次更新后，需要使用cudaDeviceSynchronize()函数来同步GPU和CPU之间的数据。

以上是一个简单的二维FDTD的CUDA实现。实际上，还可以对代码进行优化，如使用共享内存来减少全局内存访问次数，使用纹理内存来加速数据访问等。