用一个式子表示上述和函数

可以将幂级数的和函数表示为：

f(x) = x / (1 - x) ^ 2

这个式子的推导过程如下：

首先将幂级数的通项公式表示为：

a_n = (n+1) * x^n

然后将其表示为两个幂函数之差：

a_n = [(n+2) * x^(n+1) - x^(n+2)] - [(n+1) * x^n - x^(n+1)]

将幂级数的前缀和表示为 S_n：

S_n = Σ[ k=1->n ] a_k

可以看出，第一个括号内的部分和第二个括号内的部分都是一个等比数列的和。

将它们分别表示为：

b_n = (n+2) * x^(n+1) - x^(n+2)
c_n = (n+1) * x^n - x^(n+1)

可以得到：

S_n = Σ[ k=1->n ] a_k
= Σ[ k=1->n ] (b_k - c_k)
= Σ[ k=1->n ] b_k - Σ[ k=1->n ] c_k
= (n+2) * x^(n+1) - x^(n+2) - (1+x+x^2+...) + (1+x+x^2+... - x^n)
= (n+2) * x^(n+1) - x^(n+2) - (1 / (1 - x)) + ((1 - x^n) / (1 - x))
= x * [(n+2) * x^n - x^(n+1)] / (1 - x) ^ 2
= x * [(n+2) - x] / (1 - x) ^ 3

因此，幂级数的和函数为：

f(x) = lim[ n->∞ ] S_n
= lim[ n->∞ ] x * [(n+2) - x] / (1 - x) ^ 3
= x / (1 - x) ^ 2