采用自然推理系统证明∃x∃y(A(x)一B(y ) )↔∀xA( x)→∃yB(y)。

首先，我们需要翻译一下此命题：

存在某个 x 和某个 y，使得 A(x) 且 B(y) 成立，当且仅当对于所有 x，如果 A(x) 成立，则存在某个 y 使得 B(y) 成立。

接下来，我们可以使用自然推理系统证明此命题的等价性。证明过程如下：

1. 假设 ∃x∃y(A(x) ∧ B(y)) 成立。

2. 推出存在某个 x 和某个 y，使得 A(x) 成立且 B(y) 成立。

3. 基于假设 ∃x∃y(A(x) ∧ B(y))，得到存在某个 x 使得 A(x) 成立。

4. 基于假设 ∃x∃y(A(x) ∧ B(y))，得到存在某个 y 使得 B(y) 成立。

5. 假设 A(x) 成立。

6. 推出存在某个 y 使得 B(y) 成立。

7. 基于前面的推理，得到 ∀x(A(x) → ∃yB(y))。

8. 假设 ∀x(A(x) → ∃yB(y)) 成立。

9. 假设 A(x) 成立。

10. 推出存在某个 y 使得 B(y) 成立。

11. 基于前面的推理，得到 ∃y(A(x) ∧ B(y))。

12. 基于前面的推理，得到 ∃x∃y(A(x) ∧ B(y))。

13. 基于前面的推理，得到 ∃x∃y(A(x) ∧ B(y)) ↔ ∀x(A(x) → ∃yB(y))。

因此，我们证明了命题的等价性，即 ∃x∃y(A(x) ∧ B(y)) ↔ ∀x(A(x) → ∃yB(y))。