证明¬∃x¬ (¬B(x) →¬ A( x ) ) ，∀ x( B( x )→¬C(x ) ) ，¬∀x¬C(x)→∃x(¬A(x ) )

首先，假设存在一个x使得 ¬B(x) →¬ A( x ) 为假，也就是 ¬(¬B(x) →¬ A( x ) )为真。那么根据条件推理，可以得到 ¬¬B(x) 为真，即B(x)为真，进一步根据第二个条件得到¬C(x)为真，再根据第三个条件得到存在一个x使得¬A(x)为真，这与 ¬B(x) →¬ A( x ) 的假设相矛盾，因此 ¬∃x¬ (¬B(x) →¬ A( x ) ) 为真。

接下来，考虑 ¬∀x¬C(x)→∃x(¬A(x))，可以将其转化为 ¬(¬∃x(¬A(x))→∀x¬C(x)) 的形式。由于 ¬A(x) → B(x) 等价于 ¬B(x) → A(x)，因此可以将 ¬∃x(¬A(x)) 转化为 ∀x A(x)。于是原式可以转化为 ¬(∀x A(x)→∀x¬C(x))。进一步使用等价变形得到 ¬(∃x A(x) ∧ ∀x¬C(x))，也就是存在一个x使得 A(x) 为真且 C(x)为假。根据第二个条件，可以得到对于所有x，如果B(x)为真，则C(x)为假。因此可以选择一个满足 A(x) 为真且 B(x)为真的x，这样就可以满足 ¬A(x) 为真且¬C(x)为真，证明了原式的成立。