4.证明下列各公式。 (1）(Vx)(¬A(x)→B(x))，(Vx)¬B(x)→(3x)A(x) (2) (3x)A(z)→(Vx)B(x)→(Vx)(A(r)→B(x)) （3）(Vx)(A(x)→B(x)),(Vx)(C(x)→¬B(x))→(√x)(C(x)→¬A(x))

### 回答1：
（1）
首先，我们先假设存在一个x，使得¬A(x)成立，即A(x)不成立。由于(Vx)(¬A(x)→B(x))，因此对于所有的x，当¬A(x)成立时，B(x)也成立。因此，当A(x)不成立时，B(x)成立。

接着，我们假设存在一个x，使得¬B(x)成立。由于(Vx)¬B(x)，因此对于所有的x，当¬B(x)成立时，(3x)A(x) 不成立。因此，存在一个x使得A(x)不成立。根据前面的结论，当A(x)不成立时，B(x)成立。因此，存在一个x使得B(x)成立且A(x)不成立。因此，(3x)A(x)→(Vx)B(x)不成立。

综上所述，我们证明了公式（1）成立。

（2）
首先，我们假设存在一个x，使得A(z)成立。由于(3x)A(z)，因此对于所有的x，A(z)成立。因此，B(x)或A(r)→B(x)成立。如果对于所有的x，B(x)成立，则(Vx)B(x)成立。如果存在一个x使得A(r)成立，那么根据前面的结论，存在一个x使得B(x)成立且A(r)成立。因此，(Vx)(A(r)→B(x))成立。

接着，我们假设存在一个x，使得A(z)不成立。因为(3x)A(z)，所以对于所有的x，A(z)不成立。因此，(Vx)(A(r)→B(x))成立。

综上所述，我们证明了公式（2）成立。

（3）
首先，我们假设存在一个x，使得C(x)成立。由于(Vx)(C(x)→¬B(x))，因此对于所有的x，当C(x)成立时，¬B(x)成立。因此，A(x)→¬B(x)成立。因此，当A(x)成立时，¬B(x)成立。

接着，我们假设存在一个x，使得A(x)成立。由于(Vx)(A(x)→B(x))，因此对于所有的x，当A(x)成立时，B(x)成立。因此，存在一个x使得B(x)成立且A(x)成立。因此，¬B(x)不成立或者C(x)→¬A(x)不成立。因此，存在一个x使得¬B(x)成立并且C(x)→¬A(x)成立。因此，(√x)(C(x)→¬A(x))成立。

综上所述，我们证明了公式（3）成立。

### 回答2：
（1）
为证明：

（Vx)(¬A(x)→B(x))
假设存在一个x使得 ¬A(x)→B(x) 不成立，即 ¬(¬A(x)→B(x)) 成立。

根据逻辑运算规则，应有 ¬¬A(x)∨B(x) 成立。
由于双重否定规则， ¬¬A(x) 可化简为 A(x)，所以 A(x)∨B(x) 成立。

又根据全称量词的定义，对于任意的x，A(x)∨B(x) 成立，即 (Vx)(A(x)∨B(x)) 成立。

通过逻辑运算规则的逆向推导，可得到 (Vx)(¬A(x)→B(x))。

（Vx)¬B(x)→(3x)A(x)
假设存在一个x使得 ¬B(x) 不成立，即 B(x) 成立。

根据全称量词的定义，对于任意的x，A(x) 成立，即 (Vx)A(x) 成立。

通过逻辑运算规则的逆向推导，可得到 (Vx)¬B(x)→(3x)A(x)。

综上所述，证明了公式（1）。

（2）
为证明：

(3x)A(z)→(Vx)B(x)→(Vx)(A(r)→B(x))

假设存在一个x使得 (3x)A(z)→(Vx)B(x) 不成立，即 ¬[(3x)A(z)→(Vx)B(x)] 成立。

根据蕴含条件的逻辑运算规则，可将条件重写为 ¬(3x)A(z)∨(Vx)B(x)。
再根据全称量词的否定规则，可将全称量词改写为存在量词，即 ¬(∀x)A(z)∨(∃x)B(x)。

由De Morgan定律，可得到 (∃x)¬A(z)∨(∃x)B(x)。
再根据全称量词的存在唯一性，可简化为 (∃x)(¬A(z)∨B(x))。

通过逻辑运算规则的逆向推导，可得到 (3x)A(z)→(Vx)B(x)→(Vx)(A(r)→B(x))。

综上所述，证明了公式（2）。

（3）
为证明：

(Vx)(A(x)→B(x)),(Vx)(C(x)→¬B(x))→(√x)(C(x)→¬A(x))

假设存在一个x使得 (Vx)(A(x)→B(x)),(Vx)(C(x)→¬B(x)) 不成立，即 ¬[(Vx)(A(x)→B(x)),(Vx)(C(x)→¬B(x))] 成立。

根据蕴含条件的逻辑运算规则，可将条件重写为 ¬(∀x)(A(x)→B(x))∨(∀x)(C(x)→¬B(x))。

将蕴含条件进行分解可以得到 ¬(∀x)(A(x)→B(x))∨(∀x)(¬C(x)∨¬B(x))。

再根据韦恩图的知识，可以得到 (∃x)(¬A(x)∨B(x))∨(∃x)(¬C(x)∨¬B(x))。

由于存在量词的分配律，可以得到 (∃x)(¬A(x)∨B(x)∨(¬C(x)∨¬B(x)))。

再根据逻辑运算规则的逆向推导，可得到 (√x)(C(x)→¬A(x))。

综上所述，证明了公式（3）。

### 回答3：
(1) 证明：假设存在x使得¬A(x)→B(x)为False，即存在一个x使得¬(¬A(x)→B(x))为True。根据蕴含的定义，¬(¬A(x)→B(x))等价于¬(A(x)∨B(x))，即A(x)∧¬B(x)。根据∧的定义，存在一个x使得A(x)∧¬B(x)为True，即存在一个x使得¬B(x)为True，根据¬的定义，存在一个x使得B(x)为False，与(Vx)¬B(x)的定义相矛盾。

(2) 证明：假设存在x使得A(z)为True，根据全称限定的定义，对于所有的x，A(x)为True，因此存在一个x使得(Vx)A(x)为True。根据蕴含的定义，(Vx)A(x)→(Vx)B(x)为True。同样假设存在x使得B(x)为False，根据全称限定的定义，对于所有的x，B(x)为False，因此存在一个x使得(Vx)B(x)为False。根据蕴含的定义，(Vx)B(x)→(Vx)(A(r)→B(x))为True。综上所述，(3x)A(z)→(Vx)B(x)→(Vx)(A(r)→B(x))成立。

(3) 证明：假设存在x使得A(x)→B(x)为False，即存在一个x使得A(x)为True且B(x)为False。同样假设存在x使得C(x)→¬B(x)为False，即存在一个x使得C(x)为True且¬B(x)为False，即存在一个x使得C(x)为True且B(x)为True。根据√的定义，存在一个x使得C(x)→¬A(x)为True，即存在一个x使得¬A(x)为True，即存在一个x使得A(x)为False。综上所述，(Vx)(A(x)→B(x)),(Vx)(C(x)→¬B(x))→(√x)(C(x)→¬A(x))成立。