概率与统计z=x+y分布证明

假设随机变量 $X$ 和 $Y$ 是独立同分布的，且它们的期望和方差都存在，即

$E(X) = E(Y) = \mu, \quad Var(X) = Var(Y) = \sigma^2.$

我们定义随机变量 $Z=X+Y$，并计算它的期望和方差，即

$E(Z) = E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 2\mu,$

$Var(Z) = Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) = 2\sigma^2.$

根据中心极限定理，当 $X$ 和 $Y$ 的样本容量足够大时，$Z$ 的分布会趋近于正态分布。因此，我们可以将 $Z$ 的分布近似为正态分布，即

$Z \sim N(2\mu, 2\sigma^2).$

至此，我们证明了 $Z=X+Y$ 的分布为正态分布。

相关问题

任意生成3个正数，以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的概率π也与有关，这个概率为（π-2)/4，设这三个正数为xy,z，设x≤y≤z,对于每一个确定的z，则必须满足 x+y>z, x²+y²<z²容易证明这两个式子即为以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的充要条件。请编写按这一方法计算π值的并行程序并调试运行。

这道题可以使用蒙特卡罗方法进行求解，即随机生成大量的三个正数，然后计算满足条件的三角形的数量，最后根据数量和总次数求得概率，从而估计出π值。

以下是一个并行程序的示例代码，使用MPI库实现并行计算：

import random
import math
from mpi4py import MPI

comm = MPI.COMM_WORLD
size = comm.Get_size()
rank = comm.Get_rank()

# 模拟次数
n = 1000000

# 计算每个进程需要模拟的次数
local_n = n // size

# 随机数生成器种子
seed = rank

# 统计满足条件的三角形数量
count = 0

for i in range(local_n):
    # 随机生成三个正数
    x = random.uniform(0, 1)
    y = random.uniform(0, 1)
    z = random.uniform(0, 1)

    # 将三个正数排序
    x, y, z = sorted([x, y, z])

    # 判断是否符合条件
    if x + y > z and x ** 2 + y ** 2 < z ** 2:
        count += 1

# 汇总所有进程的统计结果
total_count = comm.reduce(count, op=MPI.SUM, root=0)

if rank == 0:
    # 计算概率和估计的π值
    prob = (total_count / n) * ((math.pi - 2) / 4)
    pi = 1 / prob

    print("Estimated value of pi: ", pi)

该程序使用随机数生成器在每个进程中随机生成三个正数，并统计满足条件的三角形数量。最后使用MPI的reduce操作将所有进程的统计结果汇总到根进程中，根进程根据统计结果计算概率和估计的π值并输出。

需要注意的是，由于随机生成的数是在[0, 1]范围内均匀分布的，因此需要将生成的数进行缩放，使其符合题目要求的范围。另外，随机数生成器的种子需要根据进程编号进行设置，以保证每个进程生成的随机数不同。