概率与统计z=x+y分布证明
时间: 2023-12-16 22:03:36 浏览: 29
假设随机变量 $X$ 和 $Y$ 是独立同分布的,且它们的期望和方差都存在,即
$E(X) = E(Y) = \mu, \quad Var(X) = Var(Y) = \sigma^2.$
我们定义随机变量 $Z=X+Y$,并计算它的期望和方差,即
$E(Z) = E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 2\mu,$
$Var(Z) = Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) = 2\sigma^2.$
根据中心极限定理,当 $X$ 和 $Y$ 的样本容量足够大时,$Z$ 的分布会趋近于正态分布。因此,我们可以将 $Z$ 的分布近似为正态分布,即
$Z \sim N(2\mu, 2\sigma^2).$
至此,我们证明了 $Z=X+Y$ 的分布为正态分布。
相关问题
设Z=X+Y,试证明H(X)≤H(Z)
根据熵的定义,对于随机变量X和Y,H(X)表示X的不确定性,H(Z)表示Z的不确定性。因为Z=X+Y,所以Y的信息量对于Z的不确定性没有贡献,这意味着在X给定的条件下,Y对于Z是条件独立的。因此,可以使用条件熵的定义来证明H(X) ≤ H(Z)。
我们可以使用熵的公式和条件熵的公式来证明这一点:
H(Z|X) = -Σ p(z|x)log p(z|x) (对于所有x和z)
由于Z=X+Y,所以对于所有x和z,p(z|x) = p(x,y=z-x)。因此,
H(Z|X) = -Σ p(x,y=z-x)log p(x,y=z-x) (对于所有x和z)
根据条件独立性,可以将p(x,y=z-x)表示为p(x)p(y=z-x|x),即
H(Z|X) = -Σ p(x)p(y=z-x|x)log p(x)p(y=z-x|x) (对于所有x和z)
将p(y=z-x|x)表示为δ(z-x),即y=z-x的概率是1,其他情况的概率是0。因此,
H(Z|X) = -Σ p(x)δ(z-x)log p(x)δ(z-x) (对于所有x和z)
= -Σ p(x)log p(x)δ(z-x) (对于所有x和z)
= -p(x)log p(x) (对于所有x,使得z=x)
这意味着在给定X的条件下,Z的不确定性只与X有关,与Y无关,因此H(Z|X)=H(Z),即
H(Z) = H(Z|X) ≤ H(X)
因此,我们证明了H(X) ≤ H(Z)。
设x,y相互独立且均服从正态分布n(0,1),z=x+y,求z的概率密度函数
由于x和y相互独立且均服从正态分布,因此它们的和z=x+y也是正态分布。其均值为0+0=0,方差为1+1=2,因此z的概率密度函数为:
f(z) = (1 / sqrt(2π * 2)) * exp(-z^2 / 2)
其中sqrt表示平方根,exp表示自然指数函数。这是标准正态分布的概率密度函数,即均值为0,方差为1的正态分布的概率密度函数。