针对 MNIST 数据集，利用 Python 实现基于全连接神经网络的数据分类分析， 并对数据以及结果进行分析及可视化。包括预测值与真实值的对比图，均方误差，R方指标

在Python中，我们可以使用深度学习库如TensorFlow或PyTorch来构建全连接神经网络（Dense Neural Network）并应用于MNIST手写数字识别任务。以下是简要步骤：

1. **数据加载与预处理**：
使用`tensorflow.keras.datasets.mnist`库加载MNIST数据集，分为训练集和测试集。首先，将图像数据归一化到0-1范围，并将标签转换为one-hot编码。

import tensorflow as tf
(x_train, y_train), (x_test, y_test) = tf.keras.datasets.mnist.load_data()
x_train, x_test = x_train / 255.0, x_test / 255.0

2. **模型构建**：
创建一个包含几个隐藏层的全连接神经网络，加上一个输出层用于10个类别（每个代表0-9的数字）。

model = tf.keras.models.Sequential([
    tf.keras.layers.Flatten(input_shape=(28, 28)),
    tf.keras.layers.Dense(128, activation='relu'),
    tf.keras.layers.Dense(64, activation='relu'),
    tf.keras.layers.Dense(10, activation='softmax')
])

3. **模型编译**：
编译模型，指定损失函数（如交叉熵），优化器（如Adam），以及评估指标（准确率和均方误差）。

model.compile(optimizer='adam', loss='sparse_categorical_crossentropy', metrics=['accuracy'])

4. **模型训练**：
将训练数据送入模型进行训练，设置适当的批次大小和迭代次数。

history = model.fit(x_train, y_train, epochs=10, validation_split=0.2)

5. **模型评估与结果分析**：
- 计算测试集上的预测值与真实值的对比图（混淆矩阵），可以使用`sklearn.metrics.confusion_matrix`或`tf.keras.metrics.confusion_matrix`。
- 计算均方误差（Mean Squared Error, MSE）和R方（R^2）指标，MSE通常用于回归问题，对于分类问题需要先转化为概率预测再计算。例如，使用`sklearn.metrics.mean_squared_error`和`sklearn.metrics.r2_score`。

y_pred = model.predict_classes(x_test)
mse = tf.keras.losses.sparse_categorical_crossentropy(y_test, y_pred).numpy().mean()
r2 = sklearn.metrics.r2_score(tf.argmax(y_test, axis=1), y_pred)

6. **可视化**：
可以绘制损失曲线（训练损失和验证损失）和精度曲线（训练精度和验证精度），以及混淆矩阵热力图。

plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(history.history['loss'], label='Training Loss')
plt.plot(history.history['val_loss'], label='Validation Loss')
plt.legend()

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(history.history['accuracy'], label='Training Accuracy')
plt.plot(history.history['val_accuracy'], label='Validation Accuracy')
plt.legend()
plt.show()

# 绘制混淆矩阵
sns.heatmap(confusion_matrix(y_test, y_pred), annot=True)

以上就是基于全连接神经网络对MNIST数据集进行分类分析的基本流程，通过分析预测结果、错误分布和模型性能指标，我们可以更好地了解模型的性能。