.玻璃的弹性模量为70GPa，表面能为6 J/m2。一种长200mm，直径0.052mm的玻璃纤维在0.22N的载荷下断裂。计算以下两种情况下会导致断裂的临界裂纹的长度：内部和外部（边缘）裂纹

根据基本的断裂力学理论，玻璃纤维的断裂载荷可以表示为：

F = 2σπrL

其中，σ是玻璃的强度，r是纤维的半径，L是纤维的长度。

我们可以通过这个公式，计算出纤维的强度：

σ = F / (2πrL)

将给定的参数代入，我们可以得到：

σ = 0.22N / (2π * 0.026mm * 200mm) = 2.11 GPa

接下来，我们可以使用 Griffith 理论来计算临界裂纹长度。

对于内部裂纹，Griffith 理论给出了以下公式：

a = (2γL) / (πσ^2)

其中，a是裂纹长度，γ是材料的表面能，σ是材料的弹性模量，L是裂纹的长度。

将给定的参数代入，我们可以得到：

a = (2 * 6 J/m^2 * 200mm) / (π * (70 GPa)^2) ≈ 0.18 mm

对于外部（边缘）裂纹，Griffith 理论给出了以下公式：

a = (2γL) / (πσ^2 - γ^2)

将给定的参数代入，我们可以得到：

a = (2 * 6 J/m^2 * 200mm) / (π * (70 GPa)^2 - (6 J/m^2)^2) ≈ 0.19 mm

因此，在给定的载荷下，内部裂纹和外部（边缘）裂纹会导致玻璃纤维的断裂，临界裂纹长度分别为0.18 mm和0.19 mm。

相关问题

钢块应力为193mpa，杨氏模量为200gpa，泊松比为0.3，计算y方向应变和

根据钢材的杨氏模量、泊松比和应力，可以使用以下公式计算出y方向的应变：

εy = (σy - ν(σx + σz)) / E

其中，σy为y方向的应力，σx和σz分别为x和z方向的应力，ν为泊松比，E为杨氏模量。

代入数据，可以得到：

εy = (193 - 0.3(0 + 0)) / 200
= 0.000965

因为钢材是各向同性材料，所以x、y、z方向应变相同，即εx = εy = εz = 0.000965。

matlab计算应用四点高斯求积法计算四边形单元的刚度矩阵，弹性模量为210GPa,泊松比为0.25，单位厚度为1cm

好的，我可以帮你解决这个问题。四点高斯求积法主要用于数值积分，可以用于计算四边形单元的刚度矩阵。根据弹性力学理论，四边形单元的刚度矩阵可以用下面的公式来计算：

K = D * B^T * C * B * det(J)

其中，K表示刚度矩阵，D表示弹性矩阵，B表示形函数的导数矩阵，C表示四边形的各向同性刚度系数，J表示雅可比矩阵。

根据四点高斯求积法的原理，可以通过在四边形内部选取4个高斯积分点来进行数值积分。这4个积分点的坐标和权重可以通过查表得到。

具体的计算步骤如下：

1. 定义四个高斯积分点的坐标和权重：

x1 = -0.577350269189626;
x2 = 0.577350269189626;
w1 = 1;
w2 = 1;

2. 计算形函数的导数矩阵B和雅可比矩阵J：

syms xi eta;
N1 = (1-xi)*(1-eta)/4;
N2 = (1+xi)*(1-eta)/4;
N3 = (1+xi)*(1+eta)/4;
N4 = (1-xi)*(1+eta)/4;
N = [N1 0 N2 0 N3 0 N4 0;
     0 N1 0 N2 0 N3 0 N4];
B = simplify([diff(N,xi); diff(N,eta)]);
x = [x1 x2 x2 x1];
y = [x1 x1 x2 x2];
J = simplify(B*[x;y]);

3. 计算各向同性刚度系数C：

E = 210e9;     % 弹性模量
v = 0.25;      % 泊松比
C11 = E/(1-v^2);
C12 = E*v/(1-v^2);
C = [C11 C12 0;
     C12 C11 0;
      0   0  (1-v)*E/(2*(1+v))];

4. 计算刚度矩阵K：

K = zeros(8,8);
for i = 1:4
    for j = 1:4
        xi = x(i);
        eta = y(j);
        Jx = double(subs(J(1,1)));
        Jy = double(subs(J(2,2)));
        detJ = Jx*Jy;
        Bx = double(subs(B(1,:)));
        By = double(subs(B(2,:)));
        Bmat = [Bx(1) 0 Bx(2) 0 Bx(3) 0 Bx(4) 0;
                 0 By(1) 0 By(2) 0 By(3) 0 By(4)];
        Kij = Bmat'*C*Bmat*detJ*w1*w2;
        K = K + Kij;
    end
end

最后得到的K就是四边形单元的刚度矩阵。需要注意的是，这里计算的是单位厚度下的刚度矩阵，如果需要计算其他厚度下的刚度矩阵，需要将计算结果除以单位厚度。