请使用matlab语言实现下列要求：请分别用冲激响应不变法和双线性变换法设计一个IIR低通数字滤波器，采样率为1000Hz，通带最大衰减为5dB，阻带最小衰减为40dB，通带截止频率为0.2pi，阻带截止频率为0.4皮pi，滤波器类型选择巴特沃斯滤波器

由于题目中要求使用两种方法设计IIR低通数字滤波器，因此下面将分别介绍两种方法的设计步骤。

1. 冲激响应不变法设计

（1）根据巴特沃斯滤波器的特性，可以得到其传递函数为：

$$H(s) = \frac{1}{1 + (\frac{s}{\omega_c})^{2n}}$$

其中，$\omega_c$为截止频率，$n$为滤波器阶数。

（2）将传递函数中的$s$替换为$z$，并使用冲激响应不变法进行离散化处理，得到巴特沃斯滤波器的差分方程：

$$y(n) = \frac{b_0x(n) + b_1x(n-1) + b_2x(n-2) - a_1y(n-1) - a_2y(n-2)}{a_0}$$

其中，$a_0 = 1$，$a_1 = -2cos(\omega_c)$，$a_2 = 1$，$b_0 = b_2 = \frac{1}{1 + \sqrt{2}cos(\omega_c) + cos^2(\omega_c)}$，$b_1 = 2b_0$。

（3）根据通带最大衰减为5dB，阻带最小衰减为40dB，通带截止频率为0.2pi，阻带截止频率为0.4pi，可以使用MATLAB中的butter函数计算出巴特沃斯滤波器的系数。

（4）将系数代入差分方程中，即可得到冲激响应不变法设计的IIR低通数字滤波器。

MATLAB代码如下：

% 采样率为1000Hz
fs = 1000;

% 通带最大衰减为5dB，阻带最小衰减为40dB
Rp = 5;
Rs = 40;

% 通带截止频率为0.2pi，阻带截止频率为0.4pi
Wp = 0.2*pi;
Ws = 0.4*pi;

% 滤波器类型选择巴特沃斯滤波器
[n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');
[b,a] = butter(n,Wn,'s');

% 使用冲激响应不变法进行离散化处理
[bz,az] = impinvar(b,a,fs);

% 绘制幅频特性曲线
freqz(bz,az)

2. 双线性变换法设计

（1）根据巴特沃斯滤波器的传递函数，同样可以得到其传递函数为：

$$H(s) = \frac{1}{1 + (\frac{s}{\omega_c})^{2n}}$$

（2）将传递函数中的$s$替换为$\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}$，并使用双线性变换法进行离散化处理，得到巴特沃斯滤波器的差分方程：

$$y(n) = \frac{b_0x(n) + b_1x(n-1) + b_2x(n-2) - a_1y(n-1) - a_2y(n-2)}{a_0}$$

其中，$a_0 = 1 + 2\alpha + \alpha^2$，$a_1 = 2(\alpha^2-1)/a_0$，$a_2 = (1 - 2\alpha + \alpha^2)/a_0$，$b_0 = (1+\cos(\omega_c))/2a_0$，$b_1 = (1+\cos(\omega_c))/a_0$，$b_2 = (1+\cos(\omega_c))/2a_0$，$\alpha = \tan(\frac{\omega_cT}{2})$，$T$为采样周期。

（3）同样可以使用MATLAB中的butter函数计算出巴特沃斯滤波器的系数。

（4）将系数代入差分方程中，即可得到双线性变换法设计的IIR低通数字滤波器。

MATLAB代码如下：

% 采样率为1000Hz
fs = 1000;

% 通带最大衰减为5dB，阻带最小衰减为40dB
Rp = 5;
Rs = 40;

% 通带截止频率为0.2pi，阻带截止频率为0.4pi
Wp = 0.2*pi;
Ws = 0.4*pi;

% 滤波器类型选择巴特沃斯滤波器
[n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');
[b,a] = butter(n,Wn,'s');

% 采样周期为1/fs
T = 1/fs;

% 使用双线性变换法进行离散化处理
[bz,az] = bilinear(b,a,1/T);

% 绘制幅频特性曲线
freqz(bz,az)

以上就是冲激响应不变法和双线性变换法设计IIR低通数字滤波器的MATLAB代码实现方法。