贝叶斯估计求取分布参数Python

贝叶斯估计是一种求取分布参数的方法，通过先验分布和观测数据的似然度来计算后验分布，并以参数在后验分布下的期望来估算参数值。在Python中，可以使用scipy库中的stats模块来进行贝叶斯估计。具体步骤如下：
1. 导入所需的库：```
import numpy as np
from scipy import stats

2. 定义先验分布：根据你的先验知识和问题需求，选择合适的先验分布，并设置其参数。
3. 生成观测数据：根据实际问题，生成观测数据集。
4. 计算后验分布：根据观测数据和先验分布，使用贝叶斯公式计算后验分布。这里可以使用stats模块中的相应函数来计算。
5. 估算参数值：根据后验分布，计算参数在后验分布下的期望值作为参数的估计值。

相关问题

贝叶斯推理基于gamma分布的先验

### 贝叶斯推理中使用 Gamma 分布作为先验的方法

在贝叶斯统计框架内，参数被视作随机变量，并通过先验分布表达对其初始信念。当考虑Gamma分布作为先验时，这通常适用于那些取正值的未知参数估计场景。

#### 为什么选择Gamma分布？

Gamma分布在建模非负连续型数据方面非常有用，尤其适合用于描述事件发生率或等待时间等问题中的不确定性。其灵活性来源于两个形状参数\(k\)（有时也称为\(\alpha\)）和尺度参数\(\theta\)（或逆尺度参数\(\beta=1/\theta\)），允许调整分布形态以匹配具体应用场景的需求[^3]。

对于某些特定类型的似然函数来说，比如泊松过程中的强度参数λ,选用gamma(α,β)形式的共轭先验能极大简化后续计算流程；因为此时后验也会保持同样的分布族特性，从而使得解析解成为可能。

#### 实际操作案例

假设有这样一个简单例子：已知某网站平均每小时访问次数服从Poisson分布，则该平均速率μ可由Gamma分布来充当合适的先验模型：

\[ \mu|\alpha,\beta \sim \text{Gamma} (\alpha ,\beta ) \]

其中，
- \(E[\mu]=\frac{\alpha}{\beta}\),
- Var(\(\mu)=\frac{\alpha}{\beta ^2}\).

现在观察到了一组样本观测值y_1,...,y_n (每个小时内的实际点击量)，基于最大似然原则更新后的后验分布同样遵循伽玛分布规律:

\[ p(\mu|y_{1:n},\alpha',\beta')=\prod _i^{n}[p(y_i|\mu)p(\mu)]\propto [\mu^{\sum y_i+\alpha -1}]e^{-\mu(n+\beta)} \]

因此新的超参数变为：
- 更新后的shape:\(\alpha'=\alpha +\sum y_i\)
- 更新后的rate:\(\beta'= n+\beta\)

这意味着随着更多信息的到来，原始设定下的不确定度逐渐减小，最终趋向于更加精确的结果。

import numpy as np
from scipy.stats import gamma

# 假设初始先验为 shape=2, rate=0.5
prior_shape = 2  
prior_rate = 0.5 

# 模拟一些观测数据
observed_data = [np.random.poisson(lam=4., size=1)[0] for _ in range(10)]

# 计算后验分布的新参数
posterior_shape = prior_shape + sum(observed_data)
posterior_rate = len(observed_data) + prior_rate

print(f"Posterior Shape: {posterior_shape}")
print(f"Posterior Rate : {posterior_rate}")

# 绘制前后对比图
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(gamma.ppf(0.01, a=prior_shape, scale=1/prior_rate), 
                gamma.ppf(0.99, a=posterior_shape, scale=1/posterior_rate), 100)

plt.plot(x, gamma.pdf(x, a=prior_shape, scale=1/prior_rate),'r-', lw=5, alpha=0.6, label='Prior')
plt.plot(x, gamma.pdf(x, a=posterior_shape, scale=1/posterior_rate),'b-', lw=5, alpha=0.6, label='Posterior')

plt.legend()
plt.show()

自适应贝叶斯求积原理

### 自适应贝叶斯求积的工作原理

自适应贝叶斯求积是一种结合了贝叶斯推理和数值积分技术的方法，旨在提高复杂函数积分的精度和效率。该方法利用贝叶斯框架下的概率模型来构建目标函数的近似表示，并通过迭代更新这一模型以逐步逼近真实解。

#### 贝叶斯框架中的不确定性和自适应采样策略

在贝叶斯求积中，待积函数被视为随机过程的一个样本路径。通过对这个随机过程设定先验分布并基于观测数据进行后验推断，可以获得关于未知函数更加精确的知识。特别地，在每次迭代过程中都会评估当前估计的质量，并据此决定下一步应在哪一点处获取新的测量值——即所谓的“自适应”。

这种自适应机制允许算法集中资源于那些最能减少整体误差的位置上，而不是均匀分布在定义域内盲目取点[^2]。

#### 数学表达式与核心组件

设 \( f(x) \) 是要计算定积分的目标函数，则自适应贝叶斯求积试图找到最优加权平均：

\[
I(f)=\int_{a}^{b}f(x)p(x)\mathrm{d}x\simeq\sum_{i=1}^{n}\omega_if(x_i),
\]

其中权重系数 \( w_i \)，以及节点位置 \( x_i \)，均依赖于已知信息并通过最大化某些准则（如最小化方差）确定下来。随着更多观察被纳入考虑范围之内，这些参数也会相应调整，使得最终结果更接近理论上的真值[^4]。

import numpy as np
from scipy.stats import norm

def adaptive_bayesian_quadrature(func, a, b, n_samples):
    # 初始化
    samples = []
    
    for _ in range(n_samples):
        if not samples:
            new_sample = (a + b)/2.
        else:
            posterior_mean, posterior_var = compute_posterior(samples)
            acquisition_function_values = expected_improvement(posterior_mean, posterior_var)
            new_sample = select_next_point(acquisition_function_values)

        y_new = func(new_sample)
        samples.append((new_sample, y_new))
        
    weights = calculate_weights(samples)
    integral_estimate = sum([w * yi for xi, yi in samples])
    
    return integral_estimate


def expected_improvement(mean, var):
    sigma = np.sqrt(var)
    z = (-mean) / sigma
    
    ei = mean * norm.cdf(z) + sigma * norm.pdf(z)
    return ei

此代码片段展示了如何在一个简单的例子中实现自适应贝叶斯求积的核心逻辑。注意这里省略了一些细节和技术难点，比如具体的后验计算方式、采集函数的选择等[^5]。