题1图所示RLC电路，L=1亨利，R=2欧姆，C=1法拉。以uS(t)为激励，uC(t)为响应，用matlab进行程序分析。求该系统输入输出的微分方程。理论分析：试根据电路模型分析出系统的输入输出微分方程，并求出系统的冲激响应h(t)。当系统的激励为时，求系统的零状态响应。算法设计：根据1.1求出的微分方程，编程实现冲激响应的求解；当系统的激励为时，编程实现系统的零状态响应求解。实验结果：绘出1.2要求的冲激响应、以及零状态响应的信号波形图。

根据电路模型，可以列出如下微分方程：

$$L\frac{d^2 u_C(t)}{dt^2}+R\frac{du_C(t)}{dt}+\frac{1}{C}u_C(t)=u_S(t)$$

其中，$u_S(t)$为输入信号，$u_C(t)$为电容上的电压，即输出信号。

对上式进行 Laplace 变换，得到：

$$Ls^2U_C(s)+RsU_C(s)+\frac{1}{C}U_C(s)=U_S(s)$$

整理后，得到输出信号的 Laplace 表示式：

$$U_C(s)=\frac{1}{Ls^2+Rs+\frac{1}{C}}U_S(s)$$

根据拉普拉斯逆变换，可得到系统的冲激响应：

$$h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{Ls^2+Rs+\frac{1}{C}}\}$$

对于零状态响应，我们需要先求出系统的自由响应和强制响应。当激励为 0 时，即 $u_S(t)=0$，系统的微分方程变为：

$$L\frac{d^2 u_C(t)}{dt^2}+R\frac{du_C(t)}{dt}+\frac{1}{C}u_C(t)=0$$

该方程的特征方程为：

$$Ls^2+Rs+\frac{1}{C}=0$$

解得：

$$s_1=-\frac{R}{2L}+\frac{\sqrt{R^2-4LC}}{2L}$$

$$s_2=-\frac{R}{2L}-\frac{\sqrt{R^2-4LC}}{2L}$$

因此，系统的自由响应为：

$$u_{C,h}(t)=c_1e^{s_1t}+c_2e^{s_2t}$$

其中，$c_1$ 和 $c_2$ 是待定系数。由于初始时刻电容上没有电荷，即 $u_C(0)=0$，因此有：

$$c_1+c_2=0$$

又因为初始时刻电容上的电流为 0，即 $\frac{du_C(0)}{dt}=0$，对自由响应求导得到：

$$\frac{du_{C,h}(t)}{dt}=c_1s_1e^{s_1t}+c_2s_2e^{s_2t}$$

因此，有：

$$c_1s_1+c_2s_2=0$$

解得：

$$c_1=\frac{s_2}{s_2-s_1}$$

$$c_2=-\frac{s_1}{s_2-s_1}$$

因此，系统的自由响应为：

$$u_{C,h}(t)=\frac{s_2}{s_2-s_1}e^{s_1t}-\frac{s_1}{s_2-s_1}e^{s_2t}$$

强制响应为：

$$u_{C,p}(t)=\frac{1}{Ls^2+Rs+\frac{1}{C}}u_S(t)$$

因此，系统的零状态响应为：

$$u_{C,z}(t)=u_{C,h}(t)+u_{C,p}(t)$$

根据上式，我们可以编写 Matlab 程序进行求解，并绘制系统的冲激响应和零状态响应的信号波形图。