题1图所示RLC电路，L=1亨利，R=2欧姆，C=1法拉。以uS(t)为激励，uC(t)为响应，求该系统输入输出的微分方程。理论分析：1.试根据电路模型分析出系统的输入输出微分方程，并求出系统的冲激响应h(t)。2.当系统的激励为e^(-t)u(t)时，求系统的零状态响应。

根据电路模型，可以列出如下微分方程：

$$L\frac{d^2 u_C(t)}{dt^2}+R\frac{du_C(t)}{dt}+\frac{1}{C}u_C(t)=u_S(t)$$

其中，$u_S(t)$为输入信号，$u_C(t)$为电容上的电压，即输出信号。

代入电路参数，得到：

$$\frac{d^2 u_C(t)}{dt^2}+2\frac{du_C(t)}{dt}+u_C(t)=u_S(t)$$

对上式进行 Laplace 变换，得到：

$$(s^2+2s+1)U_C(s)=U_S(s)$$

整理后，得到输出信号的 Laplace 表示式：

$$U_C(s)=\frac{1}{(s+1)^2}U_S(s)$$

根据拉普拉斯逆变换，可得到系统的冲激响应：

$$h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{(s+1)^2}\}=te^{-t}u(t)$$

当激励为 $e^{-t}u(t)$ 时，系统的微分方程变为：

$$\frac{d^2 u_C(t)}{dt^2}+2\frac{du_C(t)}{dt}+u_C(t)=e^{-t}u(t)$$

该方程的特解为：

$$u_{C,p}(t)=Ate^{-t}u(t)$$

代入微分方程，解得：

$$A=\frac{1}{2}$$

因此，特解为：

$$u_{C,p}(t)=\frac{1}{2}te^{-t}u(t)$$

该方程的齐次解为：

$$u_{C,h}(t)=c_1e^{-t}+c_2te^{-t}$$

因此，系统的零状态响应为：

$$u_{C,z}(t)=c_1e^{-t}+c_2te^{-t}+\frac{1}{2}te^{-t}u(t)$$

由于初始时刻电容上没有电荷，即 $u_C(0)=0$，因此有：

$$c_1=0$$

又因为初始时刻电容上的电流为 0，即 $\frac{du_C(0)}{dt}=0$，对自由响应求导得到：

$$\frac{du_{C,h}(t)}{dt}=-c_1e^{-t}+c_2e^{-t}-c_2te^{-t}$$

因此，有：

$$c_2=1$$

因此，系统的零状态响应为：

$$u_{C,z}(t)=te^{-t}+\frac{1}{2}te^{-t}u(t)$$

这样，我们就求出了系统的输入输出微分方程、冲激响应和零状态响应。