线性判别分析分类器的分类原理

### 线性判别分析 (LDA) 分类器工作原理

#### 定义与目标
线性判别分析(LDA)，作为一种经典的线性学习方法，旨在寻找一种映射方式使得不同类别间的差异最大化的同时最小化同一类别内的变化。这种方法不仅适用于分类问题还用于特征提取和降维[^2]。

#### 数学基础
对于给定的数据集，假设存在两类 \(C_1\) 和 \(C_2\)，每类分别含有 \(N_1\) 和 \(N_2\) 个样本点。这些样本被表示为 D 维向量 \(\mathbf{x}\) 。通过线性变换可以将高维度的空间中的数据投影到低维子空间中：

\[y=\mathbf{w}^{T}\mathbf{x}\]

其中 \(\mathbf{w}\) 是权重向量，决定了原始特征空间到新的单维空间的转换方向；\(y\) 表示经过此变换后的数值。当设定一个阈值时（比如\(-w_{0}\)），可以根据 \(y≥-w_{0}\) 来判断属于哪一类[^3]。

为了使这种划分更加有效率，即确保来自相同群体的对象聚集在一起而不同群组间保持较大距离，LDA试图优化如下比率:

\[J(\mathbf{w}) = \frac{\text{Between-class scatter}}{\text{Within-class scatter}}= \frac{{S_b}}{{S_w}}\]

这里的分子部分代表了类间距散度矩阵(Sb),分母则是内部散布程度Sw。理想情况下，希望得到较大的 J(w) 值来实现最优分离效果[^4]。

#### 计算过程概述
具体来说，计算过程中会涉及到以下几个方面：
- **均值估计**：针对每一类计算其平均值；
- **协方差矩阵构建**：基于各类内所有实例与其对应中心位置之差构成协方差矩阵；
- **求解广义特征值问题**：利用上述两步获得的信息解决相应的广义特征值分解任务以获取最佳投影轴；
- **决策边界定义**：最后设置合适的临界条件完成最终预测模型建立。

% MATLAB 示例代码展示如何使用 LDA 进行简单二元分类
load fisheriris; % 加载鸢尾花数据集作为例子
species = grp2idx(species); % 将物种名称转化为索引形式
X = meas(:,3:4); % 只取花瓣长度宽度两个属性做简化说明
ldaModel = fitcdiscr(X, species,'DiscrimType','linear'); % 创建 LDA 模型对象
predict(ldaModel,X); % 对训练集中数据做出预测并评估性能指标