X^2-2aXY的最小值

设 $f(X,Y) = X^2 - 2aXY$，我们需要求 $f(X,Y)$ 的最小值。

可以通过求 $f(X,Y)$ 对 $X$ 和 $Y$ 的偏导数，得到 $f(X,Y)$ 的梯度向量：

$$\nabla f(X,Y) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial X} \\ \\ \frac{\partial f}{\partial Y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2X - 2aY \\ \\ -2aX \end{bmatrix}$$

令 $\nabla f(X,Y) = \vec{0}$，解得：

$$X = 0, \quad Y = 0 \quad\text{或}\quad X = Y/a$$

为了判断这些解是否是 $f(X,Y)$ 的最小值，我们需要计算 $f(X,Y)$ 的 Hessian 矩阵：

$$H_f(X,Y) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial X^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial X \partial Y} \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial Y \partial X} & \frac{\partial^2 f}{\partial Y^2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -2a \\ \\ -2a & 0 \end{bmatrix}$$

当 $(X,Y)=(0,0)$ 时，Hessian 矩阵的特征值为 $\lambda_1=2$，$\lambda_2=0$，因此，$(0,0)$ 是 $f(X,Y)$ 的鞍点。

当 $(X,Y)=(Y/a,Y)$ 时，Hessian 矩阵的特征值为 $\lambda_1=2a$，$\lambda_2=-2a$，因此，$(Y/a,Y)$ 是 $f(X,Y)$ 的极小值点。

综上所述，$f(X,Y)=X^2-2aXY$ 的最小值为 $f(Y/a,Y)=(Y/a)^2-2a(Y/a)Y=-Y^2/a$，当 $(X,Y)=(Y/a,Y)$ 时取得。