0<X<R，-1<y<1,求X^2-2aXY的最小值

同样设 $f(X,Y) = X^2 - 2aXY$，其中 $0<X<R$，$-1<y<1$，我们需要求 $f(X,Y)$ 在该约束条件下的最小值。

由于 $f(X,Y)$ 是一个二次函数，因此它在 $X$ 的取值范围内必然存在最小值，我们只需要在约束条件下求出该最小值点即可。

首先，我们可以将 $f(X,Y)$ 对 $Y$ 的偏导数设为 $0$，解得：

$$Y = \frac{X}{a}$$

然后，将上述解代入 $f(X,Y)$ 中，得到：

$$f(X,Y) = X^2 - 2aXY = X^2 - 2X^2 = -X^2$$

显然，当 $X=0$ 时，$f(X,Y)=0$，不是最小值点。当 $X=R$ 时，$f(X,Y)=-R^2$，也不是最小值点。

因此，$f(X,Y)$ 的最小值点必须在 $0<X<R$ 的范围内。由于 $Y=X/a$，因此我们可以将 $f(X,Y)$ 看作关于 $X$ 的函数：

$$f(X) = X^2 - 2a \cdot \frac{X^2}{a} = (1-2a)X^2$$

由于 $0<X<R$，因此 $f(X)$ 的最小值点必须满足 $f'(X)=0$，即：

$$2(1-2a)X=0 \quad\Rightarrow\quad X=0\text{ 或 }X=\frac{1}{2a}R$$

当 $X=0$ 时，$f(X)=0$，不是最小值点。当 $X=\frac{1}{2a}R$ 时，由于 $0<\frac{1}{2a}R<R$，因此 $f(X)$ 在 $0<X<R$ 的范围内取得最小值：

$$f\left(\frac{1}{2a}R\right) = \left(1-2a\right) \cdot \left(\frac{1}{2a}R\right)^2 = \frac{1}{2}R^2 \cdot \frac{1-2a}{a}$$

因此，$f(X,Y)=X^2-2aXY$ 在 $0<X<R$，$-1<y<1$ 的约束条件下的最小值为 $\frac{1}{2}R^2 \cdot \frac{1-2a}{a}$，当 $(X,Y)=\left(\frac{1}{2a}R, \frac{1}{2}R\right)$ 时取得。