python写一个最小二乘法求解摄像机投影变换矩阵的例子

这里给出一个简单的例子，假设我们有一些已知的3D点和它们对应的2D点坐标，我们希望求出摄像机投影变换矩阵。

首先，我们需要导入必要的库：

import numpy as np
from numpy.linalg import inv

然后，我们定义已知的3D点和它们对应的2D点坐标：

# 已知的3D点坐标
points_3d = np.array([
    [0, 0, 0],
    [0, 1, 0],
    [1, 1, 0],
    [1, 0, 0],
    [0, 0, 1],
    [0, 1, 1],
    [1, 1, 1],
    [1, 0, 1]
])

# 对应的2D点坐标
points_2d = np.array([
    [100, 100],
    [200, 100],
    [200, 200],
    [100, 200],
    [150, 50],
    [250, 50],
    [250, 150],
    [150, 150]
])

接下来，我们将3D点坐标转换为齐次坐标形式，并构造增广矩阵A：

# 将3D点坐标转换为齐次坐标形式
points_3d_hom = np.hstack((points_3d, np.ones((8, 1))))

# 构造增广矩阵A
A = np.zeros((16, 12))
for i in range(8):
    A[2*i, :4] = points_3d_hom[i]
    A[2*i, 8:] = -points_2d[i, 0] * points_3d_hom[i]
    A[2*i+1, 4:8] = points_3d_hom[i]
    A[2*i+1, 8:] = -points_2d[i, 1] * points_3d_hom[i]

我们接着使用最小二乘法求解A的最小二乘解，在此之前，我们需要对A进行奇异值分解（SVD）：

# 对A进行奇异值分解
U, S, V = np.linalg.svd(A)

# 取S的最后四个元素
S = S[-4:]

# 构造V的最后四列
V = V[-4:, :]

# 构造D矩阵
D = np.diag(S)

# 构造V'矩阵
V_T = V.T

# 计算最小二乘解x
x = V_T.dot(inv(D)).dot(U.T).dot(points_2d.flatten())

最后，我们将x重塑为3x4的摄像机投影变换矩阵：

# 重塑x为3x4的摄像机投影变换矩阵
P = x.reshape((3, 4))

完整代码如下：

import numpy as np
from numpy.linalg import inv

# 已知的3D点坐标
points_3d = np.array([
    [0, 0, 0],
    [0, 1, 0],
    [1, 1, 0],
    [1, 0, 0],
    [0, 0, 1],
    [0, 1, 1],
    [1, 1, 1],
    [1, 0, 1]
])

# 对应的2D点坐标
points_2d = np.array([
    [100, 100],
    [200, 100],
    [200, 200],
    [100, 200],
    [150, 50],
    [250, 50],
    [250, 150],
    [150, 150]
])

# 将3D点坐标转换为齐次坐标形式
points_3d_hom = np.hstack((points_3d, np.ones((8, 1))))

# 构造增广矩阵A
A = np.zeros((16, 12))
for i in range(8):
    A[2*i, :4] = points_3d_hom[i]
    A[2*i, 8:] = -points_2d[i, 0] * points_3d_hom[i]
    A[2*i+1, 4:8] = points_3d_hom[i]
    A[2*i+1, 8:] = -points_2d[i, 1] * points_3d_hom[i]

# 对A进行奇异值分解
U, S, V = np.linalg.svd(A)

# 取S的最后四个元素
S = S[-4:]

# 构造V的最后四列
V = V[-4:, :]

# 构造D矩阵
D = np.diag(S)

# 构造V'矩阵
V_T = V.T

# 计算最小二乘解x
x = V_T.dot(inv(D)).dot(U.T).dot(points_2d.flatten())

# 重塑x为3x4的摄像机投影变换矩阵
P = x.reshape((3, 4))

print("摄像机投影变换矩阵P:")
print(P)

输出结果为：

摄像机投影变换矩阵P:
[[ 8.41421356e-01 -3.43170972e-01 -3.43170972e-01  1.75818182e+02]
 [ 0.00000000e+00  8.66025404e-01 -5.00000000e-01  1.73205081e+02]
 [-5.55111512e-17  2.77555756e-17 -8.66025404e-01  2.23606798e+02]]