三维凸包 quickhull

三维凸包是指在三维空间中找到一组点集合的最小凸包，即包围所有点集的最小凸多面体。QuickHull 是一种常用的求解三维凸包的算法。

QuickHull 算法的基本思想是通过递归地分治寻找凸包的顶点。具体步骤如下：
1. 在给定点集中找到最左边和最右边的两个点，将它们加入凸包的点集。
2. 将这两个点构成的直线将点集分为两部分，分别是在直线左侧和右侧的点集。
3. 对于每个子集，找到离直线距离最远的点，将其加入凸包的点集。
4. 对于新产生的直线左右两侧的子集，重复步骤3，直到无法找到更远的点。
5. 递归结束后，连接所有的凸包顶点，形成凸多面体。

QuickHull 算法具有较快的平均运行时间，并且能够处理大规模的数据集。它在三维空间中求解凸包问题时表现良好。

相关问题

三维空间中平面的凸包算法

### 关于三维空间中平面的凸包算法

#### 定义与概念
在三维空间中的凸包是指给定一组点集 \( P \)，其凸包是一个最小体积的凸多面体，该多面体能够包围所有的输入点。对于二维平面上的点集而言，已经存在多种高效的算法来求解凸包问题[^2]。

然而，在三维情况下，情况变得更加复杂。三维凸包不仅限于简单的多边形边界描述，而是涉及到了由多个三角形或四边形组成的表面结构。为了实现这一目标，通常采用增量法、分治策略或是包裹方法（类似于Jarvis步进法）来进行构建[^3]。

#### 增量构造法 Incremental Construction Method
一种常见的解决方式是从一个初始简单形状开始——比如四个不共面的顶点形成的四面体作为起点；随后逐个加入新的点到当前已知的部分凸壳上，并调整更新这些新增加部分直到遍历完所有数据点为止。每当引入一个新的外部节点时，会形成一些新面孔并移除那些不再属于最终结果内部区域的老面孔。

#### QuickHull快速外壳算法
QuickHull是一种基于分而治之原理设计出来的高效算法之一。它通过寻找最远距离中心位置的一对极值点建立初步框架之后再分别处理剩余未被覆盖的空间范围内的子集合。此过程可以递归执行直至完成整个模型搭建工作。这种方法特别适合用于高维数目的场景下因为它的平均时间复杂度相对较低O(n log n)[^4]。

#### 实现示例 Python Code Example Using Scipy Library
Python 中有一个非常方便使用的库叫做 `scipy.spatial` 提供了一个名为 ConvexHull 的类可以直接用来计算任意维度下的凸包：

from scipy.spatial import ConvexHull
import numpy as np

points = np.random.rand(30, 3)  # 随机生成30个三维坐标点
hull = ConvexHull(points)

for simplex in hull.simplices:
    print(simplex)

这段代码将会打印出构成凸包表面的所有三角形单元对应的索引列表。

pcl quickhull

pcl quickhull 是一种快速凸包算法，是点云库（PointCloud Library，PCL）中的一个功能。凸包是一个集合中凸多边形的外部面，它可以用来描述集合的形状和大小。在三维空间中，凸包是一些三角形的集合。

凸包算法的目标是求解所有点的凸包，并且让凸包有尽可能少的面。pcl quickhull 采用了增量构建凸包的思想。它首先选取一些点作为凸包的顶点，然后在此基础上逐步加入更多的点，直到所有点都被包含在凸包中为止。其中快的部分在于，它利用了点云数据的特殊性质，可以在O(n log n)的时间内完成凸包的构建，其中n是点云的数量。

在 pcl quickhull 算法中，凸包的表达采用了基于面的表示方法，而不是点的表示方法。这样做的好处是可以更方便地进行凸包的三角剖分和其他计算。此外，pcl quickhull 可以高效地处理噪声点和共面点的情况，因为它会自动剔除这些点，并且重新生成凸包。

总之，pcl quickhull 算法是一种高效、健壮和可靠的凸包算法，在点云数据处理中得到广泛应用。