东南大学数值分析上机作业matlab

### 关于东南大学数值分析课程中的MATLAB上机作业

在涉及东南大学数值分析课程的MATLAB上机作业时，通常会涵盖一系列基础而重要的数值计算方法。这些练习旨在帮助学生掌握如何利用MATLAB实现各种数值算法，并理解其背后的原理。

#### 高斯消去法求解线性方程组
高斯消元是一种经典的方法用于解决线性代数系统。通过逐步减少未知量的数量来简化原始矩阵直到可以容易地找到解决方案为止[^1]。

function x = gauss_elimination(A,b)
% 实现高斯消去法求解Ax=b
n=length(b);
for k=1:n-1
    for i=k+1:n
        factor=A(i,k)/A(k,k);
        A(i,k)=factor;
        b(i)=b(i)-factor*b(k);
        for j=k+1:n
            A(i,j)=A(i,j)-factor*A(k,j);
        end
    end
end
x=back_substitution(A,b);

function x = back_substitution(U,y)
n=length(y); 
x=zeros(n,1);
x(n)=y(n)/U(n,n);
for i=n-1:-1:1
    sum=0;
    for j=i+1:n
        sum=sum+U(i,j)*x(j);
    end
    x(i)=(y(i)-sum)/U(i,i);
end

此段代码展示了完整的高斯消去过程及其回带操作，适用于大多数情况下的一般形式线性方程组求解问题[^2]。

#### 牛顿插值多项式构建
牛顿插值提供了一种有效的方式来进行数据拟合，在给定一组离散点的情况下能够构造出一个近似函数表达式。

function p=newton_interpolation(x_data,f_data,x_val)
n=length(f_data);
a=f_data';
for j=2:n
    for i=n:-1:j
        a(i)=(a(i)-a(i-1))/(x_data(i)-x_data(i-j+1));
    end
end
p=a(n);
for i=(n-1):-1:1
    p=p.*(x_val-x_data(i))+a(i);
end

上述脚本实现了基于已知节点值建立对应的Newton型差商表并最终得到所需的插值公式。